除数函数

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这个除数函数

σk个 (n个),k个∈ ℤ,

对于正整数

n个

定义为

k个

第个的权力约数属于

n个

${\displaystyle\sigma_{k}（n）：=\sum_{d|n}d^{k}，\quad k\in\mathbb{Z}.\，}$

特别地

• σ − 1(n个)

  是的因子的调和和

  n个

  ;

• σ0(n个)

  是的除数

  n个

  ，并且通常带有注释

  τ (n个)

  或

  d日 (n个)

  ;

• σ1(n个)

  是以下各项的除数之和

  n个

  并且经常被标注

  σ (n个)

  .

除数函数的公式

从素因子分解属于

n个

$n=\prod_{\stackrel{i=1}{{p_{i}}^{\alpha_{i{}}\parallel\，n，\，\alpha_{i}\geq1}}^{\omega（n）}{p_}}^}\alpha{i}，\，$

其中

第页我

是不同的素因子属于

n个

和

ω (n个)

是不同素因子的个数属于

n个

，我们获得除数函数属于

n个

${\displaystyle\sigma_{k}（n）=\prod_{i=1}^{\omega（n）}\sum_{j=0}^{\ alpha_{i}}{p_{i{}}^{jk}=\prod_{i=1{{ω（n k}）\，}$

因为每个

第页我

我们可以从中选择指数0到

α我

建立除数

n个

，简化为

${\displaystyle\sigma{k}（n）={\begin{cases}\prod_{i=1}^{\omega（n）}（1+\alpha{i}）&{\text{if}}k=0，\\prod_}i=1}^{\omega（n）{\frac{{p{i}}^{（\alpha_{i}+1）k}-1}{{p_{i{}}}^}-}&{文本{if}}k>0.\end{cases}}}$

除数函数的生成函数

这个生成函数是

$显示样式G_{{σ_{k}（n）}}（x）等于和$

除数函数的Dirichlet生成函数

这个Dirichlet生成函数是

$显示样式D_{\{\sigma_{k}（n）\}}（s）\equiv\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\simma_{k{（n$

σ₋₁(n个)：除数函数的调和和

对于

k个= −1

我们得到

${\displaystyle\sigma{-1}（n）：=\sum_{d|n}d^{-1}=\sum_{d|n}{\frac{1}{d}}=\sam_{d*n}{\frac{1}}{n/d}}=\sum_{d}{n}{n）}{n}}，\，}$

哪里

σ−1(n个)

是因子的调和和属于

n个

.如果因子的调和和

σ−1(n个) =k个

是正整数

k个

,

n个

是一个k个-完全数自从

σ1(n个) =k个 n个

.

σ₀(n个)：除数函数

对于

k个= 0

我们得到了除数

${\displaystyle\sigma_{0}（n）：=\sum_{d|n}d^{0}=\sum_d|n}1=：d（n）=：d$

哪里

τ (n个)

是除数函数.符号

d日 (n个)

,

ν (n个)

、和

τ (n个)

有时用于

σ0(n个)

，它提供了除数属于

n个

.对于

n个> 0

，除数是部分大小相等的受限分区.

秒₀(n个)：等分除数函数

对于

k个= 0

我们得到了等分除数（除数小于

n个

)

${\显示样式s{0}（n）：=\西格玛{0}（n）-1，\，}$

哪里

σ0 (n个)

是除数函数.

σ₁(n个)：除数之和函数

对于

k个= 1

我们得到了除数之和

${\displaystyle\sigma{1}（n）：=\sum_{d|n}d^{1}=\sum_d|n}d=：\sigma（n），\，}$

哪里

σ (n个)

是除数和函数.符号

σ (n个)

通常用于

σ1(n个)

，它提供了除数之和属于

n个

.

秒₁(n个)：等分因子之和函数

对于

k个= 1

我们得到了等分因子之和（除数之和小于

n个

)

${\显示样式s{1}（n）：=\西格玛（n）-n，\，}$

哪里

σ1 (n个)

是除数和函数.

相关公式和数值表

与除数函数相关的公式和值

k个	公式 σk个 (n个) =   ω (n个) ∏   我  = 1    (α我+ 1), k个= 0,   ω (n个) ∏   我  = 1    第页我 k个  (α我 +1)− 1 第页我 k个− 1 , k个≥ 1.	生成 功能 G公司{σk个 (n个)}(x个) =   ∞ ∑   我  = 1    我  k个 x个 我 1 −x个 我	迪里克莱 生成 功能 D类{σk个 (n个)}(秒) = ζ (秒)ζ (秒−k个)?	差异 σk个 (n个) − σk个 (n个− 1) =	部分金额   米 ∑   n个  = 1    σk个 (n个) =	部分倒数和   米 ∑   n个  = 1    1 σk个 (n个) =	倒数总和   ∞ ∑   n个  = 1    1 σk个 (n个) =
0	${\显示样式\prod_{i=1}^{\omega（n）}（\alpha_{i}+1）\，}$	${\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{\frac{x^{i}}{1-x^{i}}\，}$	${\显示样式（\泽塔）^{2}\，}$
1	${\displaystyle\prod_{i=1}^{\omega（n）}{\frac{p{i}^{\ alpha{i}+1}-1}{p_{i}-1}}\，}$	${\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}i{\frac{x^{i}}{1-x^{i}}\，}$	${\显示样式\泽塔\，\泽塔（s-1）\，}$
2	${\displaystyle\prod\i=1}^{\omega（n）}{\frac{p{i}^{2（\alpha_{i}+1）}-1}{{p{i}}^{2}-1}}\，}$	${\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}i^{2}{\frac{x^{i}}{1-x^{i}}\，}$	${\显示样式\泽塔\，\泽塔（s-2）\，}$
三	${\displaystyle\prod\i=1}^{\omega（n）}{\frac{p{i}^{3（\alpha_{i}+1）}-1}{{p{i}}^{3}-1}}\，}$	${\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}i^{3}{\frac{x^{i}}{1-x^{i}}\，}$	${\显示样式\泽塔\，\泽塔（s-3）？\，}$
4	${\displaystyle\prod\i=1}^{\omega（n）}{\frac{p{i}^{4（\alpha_{i}+1）}-1}{{p{i}}^{4}-1}}\，}$	${\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}i^{4}{\frac{x^{i}}{1-x^{i}}\，}$	${\显示样式\泽塔\，\泽塔（s-4）？\，}$
5	${\displaystyle\prod_{i=1}^{\omega（n）}{\frac{p_{i}^{5（\alpha{i}+1）}-1}{{p_}i}}^{5}-1}}\，}$	${\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}i^{5}{\frac{x^{i}}{1-x^{i}}\，}$	${\显示样式\泽塔\，\泽塔（s-5）？\，}$
6	${\displaystyle\prod_{i=1}^{\omega（n）}{\frac{p_{i}^{6（\alpha{i}+1）}-1}{{p_}i}}^{6}-1}}\，}$	${\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}i^{6}{\frac{x^{i}}{1-x^{i}}\，}$	${\显示样式\泽塔\，\泽塔（s-6）？\，}$
7	${\displaystyle\prod_{i=1}^{\omega（n）}{\frac{p_{i}^{7（\alpha{i}+1）}-1}{{p_}i}}^{7}-1}}\，}$	${\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}i^{7}{\frac{x^{i}}{1-x^{i}}\，}$	${\显示样式\泽塔\，\泽塔（s-7）？\，}$
8	${\displaystyle\prod\i=1}^{\omega（n）}{\frac{p{i}^{8（\alpha_{i}+1）}-1}{{p{i}}^{8}-1}}\，}$	${\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}i^{8}{\frac{x^{i}}{1-x^{i}}\，}$	${\显示样式\泽塔\，\泽塔（s-8）？\，}$
9	${\displaystyle\prod\i=1}^{\omega（n）}{\frac{p{i}^{9（\alpha_{i}+1）}-1}{{p{i}}^{9}-1}}\，}$	${\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}i^{9}{\frac{x^{i}}{1-x^{i}}\，}$	${\显示样式\泽塔\，\泽塔（s-9）？\，}$
10	${\displaystyle\prod_{i=1}^{\omega（n）}{\frac{p_{i}^{10（\alpha{i}+1）}-1}{{p_}i}}^{10}-1}}\，}$	${\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}i^{10}{\frac{x^{i}}{1-x^{i}}\，}$	${\显示样式\泽塔\，\泽塔（s-10）？\，}$
11	${\displaystyle\prod_{i=1}^{\omega（n）}{\frac{p_{i}^{11（\alpha{i}+1）}-1}{{p_}i}}^{11}-1}}\，}$	${\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}i^{11}{\frac{x^{i}}{1-x^{i}}\，}$	${\显示样式\泽塔\，\泽塔（s-11）？\，}$
12	${\displaystyle\prod_{i=1}^{\omega（n）}{\frac{p_{i}^{12（\alpha{i}+1）}-1}{{p_}i}}^{12}-1}}\，}$	${\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}i^{12}{\frac{x^{i}}{1-x^{i}}\，}$	${\显示样式\泽塔\，\泽塔（s-12）？\，}$

序列表

除数函数序列

k个	σk个 (n个),n个  ≥   1	A编号
0	{1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, 3, 4, 2, 6, 2, 4, 4, 5, 2, 6, 2, 6, 4, 4, 2, 8, 3, 4, 4, 6, 2, 8, 2, 6, 4, 4, 4, 9, 2, 4, 4, 8, 2, 8, 2, 6, 6, 4, 2, 10, 3, 6, 4, 6, 2, 8, 4, 8, 4, 4, 2, 12, 2, 4, 6, 7, 4, 8, 2, 6, 4, 8, 2, ...}	A000005号  (n个)
1	{1, 3, 4, 7, 6, 12, 8, 15, 13, 18, 12, 28, 14, 24, 24, 31, 18, 39, 20, 42, 32, 36, 24, 60, 31, 42, 40, 56, 30, 72, 32, 63, 48, 54, 48, 91, 38, 60, 56, 90, 42, 96, 44, 84, 78, 72, 48, 124, 57, 93, 72, ...}	A000203号  (n个)
2	{1, 5, 10, 21, 26, 50, 50, 85, 91, 130, 122, 210, 170, 250, 260, 341, 290, 455, 362, 546, 500, 610, 530, 850, 651, 850, 820, 1050, 842, 1300, 962, 1365, 1220, 1450, 1300, 1911, 1370, 1810, ...}	A001157号  (n个)
三	{1, 9, 28, 73, 126, 252, 344, 585, 757, 1134, 1332, 2044, 2198, 3096, 3528, 4681, 4914, 6813, 6860, 9198, 9632, 11988, 12168, 16380, 15751, 19782, 20440, 25112, 24390, 31752, 29792, ...}	A001158号  (n个)
4	{1, 17, 82, 273, 626, 1394, 2402, 4369, 6643, 10642, 14642, 22386, 28562, 40834, 51332, 69905, 83522, 112931, 130322, 170898, 196964, 248914, 279842, 358258, 391251, 485554, ...}	A001159号  (n个)
5	{1, 33, 244, 1057, 3126, 8052, 16808, 33825, 59293, 103158, 161052, 257908, 371294, 554664, 762744, 1082401, 1419858, 1956669, 2476100, 3304182, 4101152, 5314716, 6436344, ...}	A001160型  (n个)
6	{1, 65, 730, 4161, 15626, 47450, 117650, 266305, 532171, 1015690, 1771562, 3037530, 4826810, 7647250, 11406980, 17043521, 24137570, 34591115, 47045882, 65019786, 85884500, ...}	A013954号  (n个)
7	{1, 129, 2188, 16513, 78126, 282252, 823544, 2113665, 4785157, 10078254, 19487172, 36130444, 62748518, 106237176, 170939688, 270549121, 410338674, 617285253, 893871740, ...}	A013955型  (n个)
8	{1, 257, 6562, 65793, 390626, 1686434, 5764802, 16843009, 43053283, 100390882, 214358882, 431733666, 815730722, 1481554114, 2563287812, 4311810305, 6975757442, ...}	A013956号  (n个)
9	{1, 513, 19684, 262657, 1953126, 10097892, 40353608, 134480385, 387440173, 1001953638, 2357947692, 5170140388, 10604499374, 20701400904, 38445332184, 68853957121, ...}	A？？？？？？  (n个)
10	{1, 1025, ...}	A？？？？？？  (n个)
11	{1, 2049, ...}	A？？？？？？  (n个)
12	{1, 4097, ...}	A？？？？？？  (n个)

另请参见

• 除数相对较多的数字
• 除数较多且较大的数

• 除数函数
  • 除数函数(除数)
  • 除数之和函数(除数之和)
  • 除数函数(除数的,除数乘积)

• 偶数除数函数
  • 偶数除数函数(偶数除数)
  • 偶除数之和函数(偶数除数之和)
  • 偶因子函数的乘积(偶因子乘积)

• 奇数除数函数
  • 奇数除数函数(奇数除数)
    • 形式除数4 米+ 1
    • 形式除数4 米+ 3
    • （形式除数4 米+ 1) − （形式除数4 米+ 3)
  • 奇数除数之和函数(奇除数之和)
    • 形式除数之和4 米+ 1
    • 形式除数之和4 米+ 3
    • （形式除数之和4 米+ 1) − （形式除数之和4 米+ 3)
  • 奇除数函数的乘积(奇除数乘积)
    • 形式除数的乘积4 米+ 1
    • 形式除数的乘积4 米+ 3
    • （形式除数的乘积4 米+ 1) − （形式除数的乘积4 米+ 3)

算术函数模板

• {{除数函数}}或{{西格玛k}}算术函数模板（用于

  k个∈ ℤ＼{0}

  )
• {{除数}}或{{西格玛0}}或{{陶}}算术函数模板（用于

  k个= 0

  )
• {{除数之和}}或{{西格玛1}}或{{西格玛}}算术函数模板（用于

  k个= 1

  )

工具书类

• Burton，D.M.（1989）。初等数论（第四版）。马萨诸塞州波士顿：Allyn和Bacon。 

• 哈代，G.H。；Wright，E.M.（1979）。数论导论（第五版）。英国牛津：牛津大学出版社。第354-355页。 

• Knopp，K.（1951年）。无穷级数的理论与应用伦敦：布莱克。第451页。 

• 矿石，Ø。(1988).数论及其历史纽约：多佛。 

• Titchmarsh，E.C.（1938年）。“在一系列Lambert类型上”。J.伦敦数学。Soc公司。 13：第248-253页。