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约数

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这个约数（或因素)正整数的
n个
是正整数那道鸿沟
n个
而不留下余数例如，4是的除数12，自12除以4是三没有剩余；5不是的除数12因为还有剩余的2.
的正因子
n个
是的零光滑的（除
x个= 0
)功能[1]
d日n个(x个)=正弦 2  (π  x个)+罪恶 2 π 
n个
x个
 , 1 ≤x个≤n个.

除法谓词

divides谓词
d日∣n个
是一个布尔函数，其计算结果为真的当且仅当
d日
划分
n个
，否则计算为假.

的除数n个

在除数
d日 (n个)
下表的列，拉马努詹的主要是合成数(A067128号)，定义为
n个
这样的话
d日 (n个)  ≥  d日 (k个)
为所有人
1  ≤  k个<n个
，如所示大胆的. 在除数之和
σ (n个)
下表的列高度丰富的数字(A002093号)，定义为
σ (n个) >σ (米)
为所有人
1  ≤  米<n个
，如所示大胆的.

的除数
n个,n个  ≥   1
.

n个
 		约数 计数
σ0 (n个) (d日 (n个),τ (n个))

A000005号 		总和
σ1(n个) (σ (n个))

A000203号
1 {1} 1 1
2 {1, 2} 2 三
三 {1, 3} 2 4
4 {1, 2, 4} 三 7
5 ｛1，5｝ 2 6
6 {1, 2, 3, 6} 4 12
7 {1, 7} 2 8
8 {1, 2, 4, 8} 4 15
9 {1, 3, 9} 三 13
10 {1, 2, 5, 10} 4 18
11 {1, 11} 2 12
12 {1, 2, 3, 4, 6, 12} 6 28
13 {1, 13} 2 14
14 ｛1、2、7、14｝ 4 24
15 {1, 3, 5, 15} 4 24
16 {1, 2, 4, 8, 16} 5 31
17 {1, 17} 2 18
18 {1, 2, 3, 6, 9, 18} 6 39
19 {1, 19} 2 20
20 {1, 2, 4, 5, 10, 20} 6 42
21 {1, 3, 7, 21} 4 32
22 {1, 2, 11, 22} 4 36
23 {1, 23} 2 24
24 {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} 8 60
25 {1, 5, 25} 三 31
26 {1, 2, 13, 26} 4 42
27 {1, 3, 9, 27} 4 40
28 {1, 2, 4, 7, 14, 28} 6 56
29 {1, 29} 2 30
30 {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} 8 72
31 {1, 31} 2 32
32 {1, 2, 4, 8, 16, 32} 6 63
33 {1, 3, 11, 33} 4 48
34 ｛1、2、17、34｝ 4 54
35 {1, 5, 7, 35} 4 48
36 {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} 9 91
37 {1, 37} 2 38
38 {1, 2, 19, 38} 4 60
39 {1, 3, 13, 39} 4 56
40 {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40} 8 90
41 {1, 41} 2 42
42 {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42} 8 96
43 ｛1，43｝ 2 44
44 {1, 2, 4, 11, 22, 44} 6 84
45 {1, 3, 5, 9, 15, 45} 6 78
46 {1, 2, 23, 46} 4 72
47 {1, 47} 2 48
48 {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48} 10 124
49 {1, 7, 49} 三 57
50 {1, 2, 5, 10, 25, 50} 6 93
51 {1, 3, 17, 51} 4 72
52 ｛1、2、4、13、26、52｝ 6 98
53 {1, 53} 2 54
54 {1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54} 8 120
55 {1, 5, 11, 55} 4 72
56 {1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56} 8 120
57 {1, 3, 19, 57} 4 80
58 {1, 2, 29, 58} 4 90
59 {1, 59} 2 60
60 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60} 12 168
        
n个
 		约数 计数
σ0 (n个) (d日 (n个),τ (n个))

A000005号 		总和
σ1(n个) (σ (n个))

A000203号
61 {1, 61} 2 62
62 {1, 2, 31, 62} 4 96
63 {1, 3, 7, 9, 21, 63} 6 104
64 {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64} 7 127
65 {1, 5, 13, 65} 4 84
66 {1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 66} 8 144
67 {1, 67} 2 68
68 {1, 2, 4, 17, 34, 68} 6 126
69 {1, 3, 23, 69} 4 96
70 ｛1、2、5、7、10、14、35、70｝ 8 144
71 {1, 71} 2 72
72 {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72} 12 195
73 {1, 73} 2 74
74 {1, 2, 37, 74} 4 114
75 {1, 3, 5, 15, 25, 75} 6 124
76 {1, 2, 4, 19, 38, 76} 6 140
77 {1, 7, 11, 77} 4 96
78 {1, 2, 3, 6, 13, 26, 39, 78} 8 168
79 ｛1，79｝ 2 80
80 {1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80} 10 186
81 {1, 3, 9, 27, 81} 5 121
82 {1, 2, 41, 82} 4 126
83 {1, 83} 2 84
84 {1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84} 12 224
85 {1, 5, 17, 85} 4 108
86 {1, 2, 43, 86} 4 132
87 {1, 3, 29, 87} 4 120
88 ｛1、2、4、8、11、22、44、88｝ 8 180
89 {1, 89} 2 90
90 {1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90} 12 234
91 {1, 7, 13, 91} 4 112
92 {1, 2, 4, 23, 46, 92} 6 168
93 {1, 3, 31, 93} 4 128
94 {1, 2, 47, 94} 4 144
95 {1, 5, 19, 95} 4 120
96 {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96} 12 252
97 {1, 97} 2 98
98 {1, 2, 7, 14, 49, 98} 6 171
99 {1, 3, 9, 11, 33, 99} 6 156
100 {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100} 9 217
101 {1, 101} 2 102
102 {1, 2, 3, 6, 17, 34, 51, 102} 8 216
103 {1, 103} 2 104
104 {1, 2, 4, 8, 13, 26, 52, 104} 8 210
105 {1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105} 8 192
106 {1, 2, 53, 106} 4 162
107 {1, 107} 2 108
108 ｛1、2、3、4、6、9、12、18、27、36、54、108｝ 12 280
109 {1, 109} 2 110
110 {1, 2, 5, 10, 11, 22, 55, 110} 8 216
111 {1, 3, 37, 111} 4 152
112 {1, 2, 4, 7, 8, 14, 16, 28, 56, 112} 10 248
113 {1, 113} 2 114
114 {1, 2, 3, 6, 19, 38, 57, 114} 8 240
115 {1, 5, 23, 115} 4 144
116 {1, 2, 4, 29, 58, 116} 6 210
117 ｛1、3、9、13、39、117｝ 6 182
118 {1, 2, 59, 118} 4 180
119 {1, 7, 17, 119} 4 144
120 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120} 16 360

上表给出了有限序列的无限序列

 
{{1}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 2, 4}, {1, 5}, {1, 2, 3, 6}, {1, 7}, {1, 2, 4, 8}, {1, 3, 9}, {1, 2, 5, 10}, {1, 11}, {1, 2, 3, 4, 6, 12}, {1, 13}, {1, 2, 7, 14}, {1, 3, 5, 15}, {1, 2, 4, 8, 16}, {1, 17}, {1, 2, 3, 6, 9, 18}, {1, 19}, {1, 2, 4, 5, 10, 20}, {1, 3, 7, 21}, {1, 2, 11, 22}, {1, 23},
{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}, {1, 5, 25}, {1, 2, 13, 26}, {1, 3, 9, 27}, {1, 2, 4, 7, 14, 28}, {1, 29}, {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}, ...}
A027750型按行读取的三角形（排序…）
n个
列出的除数
n个
.
{1，1，2，1，3，1，2，4，1，5，1，2，3，6，1，7，1，2，2，、、、一、1、23、1、2、3、4、6、8、12、24、1、5、25、1、2、13、26、1、3 3、，
1, 2, 4, 7, 14, 28, 1, 29, 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30, ...}

立方体和等于和的平方的Liouville tau推广

如果，对于每个除数
d日我,我∈ {1, ...,τ (n个)},
属于
n个
，我们考虑除数的数量
τ (d日我 )
的
d日我
，我们有刘维尔τ推广,[2][3]以…命名约瑟夫·刘维尔,
 
τ (n个)
∑
 
我=============================================================1
  
τ (d日我  ) 三 =   
 
τ (n个)
∑
 
我=============================================================1
  
τ (d日我  )   2.
特别是，如果
n个
是主要力量
第页 n个  − 1
，我们有众所周知的
 
n个
∑
 
我=============================================================1
  
我 三 =   
 
n个
∑
 
我=============================================================1
  
我   2.
从主功率分解
n个
，我们可以从后者得到前者的关系。

的等分因子n个

的等分除数（或等分部分，不幸的是，通常被称为适当除数或适当部分）
n个
是的除数
n个
小于
n个
.

的强除数n个

的强除数（或强部分）
n个
是的除数
n个
大于1(1可以说是“弱除数”）。

的非平凡因子n个

非平凡除数（或非平凡部分，在某些文本中称为真除数或真部分）
n个
是的除数 
n个
除1或
n个
每个整数都可以被1，因此1是一个平凡除数；和每个整数（除了 
0
)是可以被自己分割的。素数只有微不足道的除数。

例如12是{2, 3, 4, 6}.数字13没有任何非平凡除数。

的偶数除数n个

(...)

的奇除数n个

(...)

的单位因子n个

除数
d日
属于
n个
是一个酉因子属于
n个
如果
d日
划分
n个
精确一次（即。
d日  2
不可分割
n个
). 例如，三是的幺正除数12，自9不可分割12.但是2不是的幺正除数12因为4也划分12均匀地。

偶数酉因子n个

(...)

的奇幺正因子n个

(...)

的除数n个!

(...) （详细说明：n个!.) [4]

序列

A000005号
d日 (n个)
（也称为
τ (n个)
或
σ0 (n个)
)除数属于
n个
.
{1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, 3, 4, 2, 6, 2, 4, 4, 5, 2, 6, 2, 6, 4, 4, 2, 8, 3, 4, 4, 6, 2, 8, 2, 6, 4, 4, 4, 9, 2, 4, 4, 8, 2, 8, 2, 6, 6, 4, 2, 10, 3, 6, 4, 6, 2, 8, 4, 8, 4, 4, ...}
A067128号 拉马努詹的主要是合成数，定义为
n个
这样的话
d日 (n个)  ≥  d日 (k个)
对于
k个= 1
到
n个 −  1
.
{1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 18, 20, 24, 30, 36, 48, 60, 72, 84, 90, 96, 108, 120, 168, 180, 240, 336, 360, 420, 480, 504, 540, 600, 630, 660, 672, 720, 840, 1080, 1260, 1440, ...}
A002182号 高度复合数，定义（1）：其中
d日 (n个)
，的除数
n个
(A000005号)，增加到创纪录水平。
{1、2、4、6、12、24、36、48、60、120、180、240、360、720、840、1260、1680、2520、5040、7560、10080、15120、20160、25200、27720、45360、50400、55440、83160、110880、166320…}
A002183号记录的值
τ (n个)
:除数属于
n个
第个 高合成数.
{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 16, 18, 20, 24, 30, 32, 36, 40, 48, 60, 64, 72, 80, 84, 90, 96, 100, 108, 120, 128, 144, 160, 168, 180, 192, 200, 216, 224, 240, 256, 288, 320, 336, ...}
A000203号
σ (n个) =
 除数之和属于
n个
。也称为
σ1(n个)
.
{1、3、4、7、6、12、8、15、13、18、12、28、14、24、24、31、18、39、20、42、32、36、24、60、31、42、40、56、30、72、32、63、48、54、48、91、38、60、56、90、42、96、44、84、78…}
A005100型 数量不足：个数字
n个
这样的话
σ (n个) < 2 n个
.
{1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50, 51, 52, 53, 55, 57, 58, 59, ...}
A005101号 数量丰富（除数之和
n个
超过
2 n个
).
{12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, 104, 108, 112, 114, 120, 126, 132, 138, 140, 144, 150, 156, 160, 162, 168, 174, ...}
A？？？？？？大量丰富的数字:
σ (n个)  ≥  σ (米)
为所有人
米<n个
.
{这与A002093号 高度丰富的数字或者是强大的小数定律在这里玩-丹尼尔·福格斯2012年5月23日04:30（UTC）}
A002093号 高度丰富的数字:
σ (n个) >σ (米)
为所有人
米<n个
.
{1、2、3、4、6、8、10、12、16、18、20、24、30、36、42、48、60、72、84、90、96、108、120、144、168、180、210、216、240、288、300、336、360、420、480、504、540、600、630…}
A034885号记录的值
σ (n个)
.
{1, 3, 4, 7, 12, 15, 18, 28, 31, 39, 42, 60, 72, 91, 96, 124, 168, 195, 224, 234, 252, 280, 360, 403, 480, 546, 576, 600, 744, 819, 868, 992, 1170, 1344, 1512, 1560, 1680, ...}
A004394号 超丰富的数字:
n个
这样的话
σ (n个)
n个
>
σ (米)
米
为所有人
米<n个,σ (n个)
是的除数之和
n个
.
{1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180, 240, 360, 720, 840, 1260, 1680, 2520, 5040, 10080, 15120, 25200, 27720, 55440, 110880, 166320, 277200, 332640, 554400, 665280, ...}
A001065号的适当除数（或等分部分）之和
n个
：的除数之和
n个
小于
n个
.
{0, 1, 1, 3, 1, 6, 1, 7, 4, 8, 1, 16, 1, 10, 9, 15, 1, 21, 1, 22, 11, 14, 1, 36, 6, 16, 13, 28, 1, 42, 1, 31, 15, 20, 13, 55, 1, 22, 17, 50, 1, 54, 1, 40, 33, 26, 1, 76, 8, 43, ...}
A000396号 完美数字
n个
:
n个
等于
n个
.
{6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128, 2658455991569831744654692615953842176, 191561942608236107294793378084303638130997321548169216, ...}
A034090型数字
n个
这样的适当除数之和
n个
超过了所有较小的数字。
{1，2，4，6，8，10，12，18，20，24，30，36，48，60，72，84，90，96，在一个最后的一一发于

A034091号真除数函数和的记录。

{0, 1, 3, 6, 7, 8, 16, 21, 22, 36, 42, 55, 76, 108, 123, 140, 144, 156, 172, 240, 259, 312, 366, 384, 504, 531, 568, 656, 810, 924, 1032, 1056, 1140, 1260, 1356, 1698, 2040, ...}
A007955号 除数乘积属于
n个
.
{1, 2, 3, 8, 5, 36, 7, 64, 27, 100, 11, 1728, 13, 196, 225, 1024, 17, 5832, 19, 8000, 441, 484, 23, 331776, 125, 676, 729, 21952, 29, 810000, 31, 32768, 1089, 1156, 1225, ...}
A034287号数字
n个
这样的除数的乘积
n个
大于小于的任何数字
n个
.（等于A067128号对于105834个术语，小于10 150.)
{1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 18, 20, 24, 30, 36, 48, 60, 72, 84, 90, 96, 108, 120, 168, 180, 240, 336, 360, 420, 480, 504, 540, 600, 630, 660, 672, 720, 840, 1080, 1260, 1440, ...}
A007956号的真除数的乘积
n个
.
{1, 1, 1, 2, 1, 6, 1, 8, 3, 10, 1, 144, 1, 14, 15, 64, 1, 324, 1, 400, 21, 22, 1, 13824, 5, 26, 27, 784, 1, 27000, 1, 1024, 33, 34, 35, 279936, 1, 38, 39, 64000, 1, 74088, 1, ...}

A034288号适当除数的乘积大于任何较小的数。

{1, 4, 6, 8, 10, 12, 18, 20, 24, 30, 36, 48, 60, 72, 84, 90, 96, 108, 120, 168, 180, 240, 336, 360, 420, 480, 504, 540, 600, 630, 660, 672, 720, 840, 1080, 1260, 1440, 1680, ...}

计算机代数系统中的除数函数

该功能在中提供PARI/GP公司作为除数（n）和除数[n]在里面数学软件.

推广到其他积分域

上述内容主要集中在
ℤ +
正整数的域，但这个概念可以很容易地扩展到其他积分域。让我们说
天
是的某个域代数整数、和
n个
和
d日
属于该域。如果
n个
d日
∈天
还有，那么
d日
是的除数
n个
例如，在
ℤ [
2√  三
]
，我们看到了
1 +
2√  三
是的除数2自从
2
1 +
2√  三
= 负极1 +
2√  三
。但它不是7自从
7
1 +
2√  三
= 负极
7
2
+
7
2√  三
2
∉ ℤ [
2√  三
]
.

另请参见

笔记

  1. ↑ 的在线绘图（正弦（pi*x））^2+（正弦（π*72/x））.
  2. ↑ 彼得·泰勒，立方总和.
  3. ↑ 爱德华·巴博（Edward Barbeau）和萨默·塞拉吉（Samer Seraj），“立方之和是总和的平方，”arXiv公司:1306.5257[math.NT]，2013年。
  4. ↑ 需要详细说明（部门n个!).
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