欧几里德关于素数无穷多的证明

几个世纪后，欧几里得对以下定理的证明仍然是经典的，不仅是为了证明这个特定的定理，而且作为证明一般来说。

定理。有无限多素数.

证明（欧几里得）。给定一个有限集 ${\displaystyle\scriptstyle{\mathcal{S}}}$ 计算素数的乘积

${\显示样式N=\prod_{p\in{\mathcal{S}}}p.\，}$

很明显 ${\显示样式\脚本样式N+1，}$ 不能被任何存在的素数整除，余数在所有情况下都是1。所以要么 ${\显示样式\脚本样式N+1，}$ 是质数或是混合成的其素因子不在集合中 ${\displaystyle\scriptstyle{\mathcal{S}}}$ 不管怎样，我们至少有一个新的素数。□

这个经典的证明可以用许多伪装。例如：

证明（Euclid–Bolker）指定人 ${\displaystyle\scriptstyle\mathbb{P}\，}$ 所有质数的集合。因为2是质数， ${\displaystyle\scriptstyle\mathbb{P}\，}$ 不是空集合。我们现在将证明不存在有限子集 ${\显示样式\脚本样式Q\，}$ 属于 ${\displaystyle\scriptstyle\mathbb{P}\，}$ 排气管 ${\displaystyle\scriptstyle\mathbb{P}\，}$ 。让我们指定非空子集的元素 ${\显示样式\脚本样式Q\，}$ 作为 ${\displaystyle\scriptstyle q{1}，\ldots，q{\mathrm{len}}\，}$ 然后计算 $｛\displaystyle\scriptstylem\，=\，1+\prod_｛i=1｝^｛\mathrm｛len｝｝q_｛i｝\，｝$ .“算术基本定理“意味着有一个质数 ${\显示样式\脚本样式p\，}$ 哪一个分开了 ${\显示样式\脚本样式m\，}$ .因为没有 ${\显示样式\脚本样式q_{i}\，}$ 划分 ${\显示样式\脚本样式m\，}$ ，因此 ${\显示样式\脚本样式p\，\notin\，Q\，}$ 和 ${\显示样式\脚本样式Q\，\neq\，\mathbb{P}\，}$ 因此， ${\displaystyle\scriptstyle\mathbb{P}\，}$ 是无限的。^[1]□

当然，在这个版本中，有必要先证明算术的基本定理。

由于欧几里德主要将数字视为几何结构，因此可以在数字线。考虑以下情况 ${\显示样式\脚本样式{\mathcal{S}}\，}$ 就是所有素数的集合都不大于 ${\displaystyle\scriptstyle{\mathcal{S}}}$ ，并称之为 ${\显示样式\脚本样式p_{\最大}\，}$ 。使用 ${\显示样式\脚本样式p_{\最大}\，=\，5\，}$ ，我们有 $｛\displaystyle\scriptstyle N\，=\，30\，｝$

和 ${\显示样式\脚本样式N+1，=\，31\，}$ ，它是质数，远大于5。我们可以在数字线上算出一个例子，其中 ${\显示样式\脚本样式N+1，}$ 是混合成的（带有基本因子大于 ${\显示样式\脚本样式p_{\最大}\，}$ )而是质数因子的点 ${\显示样式\脚本样式N\，}$ 会挤得太近，无法用作说明。

数字 ${\显示样式\脚本样式N+1，}$ 对于 ${\显示样式\脚本样式\最大值\，=\，0\，}$ 远期有时被称为“欧几里得数“（请参见A006862号.）数字 ${\显示样式\脚本样式N\，}$ 是初学者; 看见A002110号. The欧几里得数中列出了主要的A018239号作为“初生素数.“对于 ${\显示样式\脚本样式n\，}$ ^第个欧几里得数，参见A051342号.

阶乘(A000142号)有时在证明中使用而不是原语；^[2]它们的缺点是，由于许多重复的因素（尤其是2），它们的增长速度要快得多，尽管公平地说，基本量也会快速增长，超出典型计算器可以完全精确显示的范围。

即使在我们假设的有限素数列表中跳过了一些较小的素数，欧几里德的证明仍然有效。例如，如果我们说2、3和19是唯一的素数，

这个素因子分解属于 ${\显示样式\脚本样式N+1，}$ 然后会显示一个我们跳过的素数，以及一个比我们宣布的最大素数大的素数。

欧几里德的证明表明了以下顺序(A005265号和A005266号)尼尔·斯隆和其他数学家，定义如下递推关系:

显示样式a{1}=3\，}

{\显示样式b_{n}=\prod_{k=1}^{n} 一个_{k} \，}

和 ${\显示样式\脚本样式a{n+1}\，}$ 是最小素因子（用于A005265号)或最大素因子（用于A005266号)第页，共页 ${\显示样式\脚本样式b_{n-1}\，}$ .

证明存在无限多个特定形式的素数

欧几里德证明的基本原理可以用来证明有无穷多个特定形式的素数，例如形式的素值 ${\显示样式4k+3}$ （在这里，就像本文中的情况一样，我们只处理正素数，但所有结论都可以很容易地扩展到负素数）。

定理4K3。这个形式有无穷多个素数 ${\显示样式4k+3}$ .

证明。称作 ${\显示样式Q}$ 形式的所有素数的集合 ${\显示样式4k+3}$ 。我们断言 ${\显示样式Q}$ 是有限的，并且它有 ${\显示样式n}$ 元素，来自 ${\显示样式q_{1}}$ 到 ${\显示样式q_{n}}$ .计算 ${\显示样式m=-1+4\prod_{i=1}^{n} 问_{i} }$ .很明显 ${\显示样式m>1}$ 、以及 ${\显示样式m\equiv 3\mod 4}$ 和 ${\显示样式\gcd（m，q{i}）=1}$ 对于每个 $｛\displaystyle q_｛i｝\在q中｝$ 根据算术基本定理， ${\显示样式m}$ 是一个素数或两个或多个素数的乘积。但如果 ${\显示样式m}$ 是质数，这与我们的断言相矛盾 ${\显示样式Q}$ 是有限的。所以，不仅是 ${\显示样式m}$ 复合，它的所有素除数的形式都是 ${\显示样式4k+1}$ 然而，由于 ${显示样式（4k+1）（4j+1）=16kj+4k+4j+1等于1\mod 4}$ ，至少一个（但可能是三个或五个或七个，等等） ${\显示样式m}$ 的素数必须是以下形式 ${\显示样式4k+3}$ .是否 ${\显示样式m}$ 是质数还是复合数，我们至少找到了形式的一个质数 ${\显示样式4k+3}$ 那不是 ${\显示样式Q}$ 如果我们把素数附加到 ${\显示样式Q}$ ，我们可以导出形式的另一个素数 ${\显示样式4k+3}$ ，因此 $｛\displaystyle Q｝$ 实际上是无限的。□