复数

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复数数字是否同时具有实部和一个虚部实数是复数的一种特殊情况，其中虚部为0。（类似地，虚数是实数部分为0的复数加性恒等式0既是真实的也是虚构的。）复数可以写成${\显示样式z\，=\，a+b\，i}$在笛卡尔坐标系中${\显示样式a}$和${\显示样式b}$存在实数和${\显示样式i}$成为虚单位"${\显示样式{\sqrt{-1}}}$“，或作为$｛\displaystyle z=r\，e^｛i\ttheta｝=r\，（\cos（\ttheta）+i\sin（\ttheta））｝$在极坐标系中。伯恩哈德·黎曼将复数写为${\显示样式s=\σ+i\，t}$. The设置复数的表示为${\显示样式\mathbb{C}}$或C类.

例如，$z=\Re（z）+\Im（z）i={\frac{1}{2}}+（14.1347251417…）i$是复数，在极坐标系中为${\显示样式z=|z|e^{i\arg（z）}}$，其中${\displaystyle|z|={\sqrt{{\Re（z）}^{2}+{\Im（z）}^}}}}$（=14.143565845691…）是${\显示样式z}$、和${\显示样式\arg（z）={\rm{arctan2}}（\Im（z$（=1.5354371953233…）是论点属于${\显示样式z}$.

这个复共轭 ${\显示样式\脚本样式{\上划线{z}}\，}$复数的${\显示样式\脚本样式z\，=\，a+bi\，=\\，re^{i\theta}\，}$定义为

${\显示样式{\上划线{z}}\，：=\，a-bi\，=\，re^{-i\ theta}.\，}$

这个绝对值 ${\显示样式\脚本样式|z|\，}$复数的${\显示样式\脚本样式z\，=\，a+bi\，=\\，re^{i\theta}\，}$定义为

${\displaystyle|z|\，：=\，{\sqrt{z{overline{z}}}={\sqart{（a+bi）（a-bi）}}=}={\sqrt{a^{2}+b^{2{}}}={\sqrt{re^{i\theta}\cdot re^{-i\theta{}}{}}=r.\，}$

将复数视为复数平面中的点（Argand图）绝对值复数的规范的矢量（a、b）英寸${\displaystyle\scriptstyle\mathbb{R}^{2}\，}$（该实部 ${\显示样式\脚本样式a\，}$和虚部 ${\显示样式\脚本样式bi\，}$“正交”）。

这个论点复数的${\显示样式\脚本样式z\，=\，a+bi\，=\\，re^{i\theta}\，}$是

${\displaystyle\arg（z）=\arg（a+bi）=\arctan{\bigg$

哪里${\显示样式\脚本样式\主题\，}$被视为模${\显示样式\脚本样式2\pi\，}$，即。${\显示样式\脚本样式\θ\，\ in \，[0,2\pi）\，}$.

功能${\显示样式\脚本样式\Re（z）\，}$给出实部复数的${\显示样式\脚本样式z\，=\，a+bi\，=\\，re^{i\theta}\，}$

${\显示样式\Re（z）\，\equiv\，a={\frac{z+{\上划线{z}}{2}}=r\cos（\theta）.\，}$

功能${\显示样式\脚本样式\Im（z）\，}$提供了虚部复数的${\显示样式\脚本样式z\，=\，a+bi\，=\\，re^{i\theta}\，}$

${\显示样式\Im（z）\，\equiv\，bi={\frac{z-{\上划线{z}}{2}}=r\sin（\theta）~i.\，}$

因此

${\displaystyle z=\Re（z）+\Im（z$

复杂算术

这个附加和减法复数的规则是

${\显示样式（a+bi）\pm（c+di）=（a\pm c）+（b\pm d）i\，}$

${\显示样式r{1}\，e^{i\theta{1}}\，\pm\，r{2}\，e ^{i\t theta{2}}=[r_{1}\cos（\theta_1}）\，+\，r_1}\sin（\theta{1}））\，i]}$

${\显示样式=[r{1}\cos（θ{1}）\，\pm\，r{2}\cos（θ}）]\$

${\displaystyle={\sqrt{[r{1}\cos（\theta{1}）\，\pm\，r{2}\cos（\theta{2}）]^{2}\，+\，[r{1\sin（\theda{1}）\，\tm\，r}2}\sinθ{1}）\，\pm\，r{2}\sin（θ{2}）}{r{1}\cos（θ}）$

这个乘法的规则复数是

${\显示样式（a+bi）（c+di）=（ac-bd）+（ad+bc）i\，}$

$显示样式（r{1}，e^{iθ{1}}）_{1} 第页_{2} \，e^{i（θ{1}+θ{2}）}=r_{1} 第页_{2} \，e^｛i（（θ_｛1｝+θ_｛2｝）\mod（2\pi））｝\，｝{1} 第页_{2} \，e^{i（θ{1}+θ{2}）}=r_{1} 第页_{2} \，e^｛i（（θ_｛1｝+θ_｛2｝）\mod（2\pi））｝\，｝$

这个相互的复数的

${\显示样式{\frac{1}{z}}={\frac{\overline{z}{z{\overrine{z{}}}=}$

${\显示样式{\frac{1}{z}}={\frac{1}}{r，e^{i\theta}}}=}\frac}1}{r}}\，e^}-i\theta{={\frac{1{r}{，e^ i（-\theta\mod（2\pi））}\，}$

这个分开复数的规则是

$显示样式{\frac{a+bi}{c+di}}=（a+bi）}}$

${\displaystyle={\bigg（}{\frac{ac+bd}{c^{2}+d_{2}}}{\big）}+{\bigh（}{\frac{bc-ad}{c ^{2{2}{}}{\ bigg）}i\，}$

$显示样式{\frac{r{1}，e^{i\theta_{1}}{r{2}，e ^{i\t theta_{2}}}={\frac{r{1\}}{r{2}{}}，e ^{i（\theta_{1}-\θ{2}）}={\frac{r{1}}{r{2}}\，e^{i（（θ_{1}-\θ{2}）\mod（2\pi）}\，}{1}-\θ{2}）}={\frac{r{1}}{r{2}}\，e^{i（（θ_{1}-\θ{2}）\mod（2\pi）}\，}$

复杂单元和身份元素

有四个单位在里面${\displaystyle\scriptstyle\mathbb{C}\，}$,${\显示样式\脚本样式i\，}$是乘法群的生成元${\显示样式\脚本样式（\{1，i，-1，-i\}，\cdot）\，}$订单4：

${\显示样式i^{0}=1，i^{1}=e^{\frac{i\pi}{2}=i，i^}2}=e_^{i\pi}=-1，i^[3]=e^}\frac}i3\pi}}=-i\，}$.

复数集合与附加和乘法是具有的字段加性恒等式0和乘法恒等式1

复数单位作为加数的作用很容易猜测：适当实部或虚部的增减。作为被乘数，复杂单元具有更多样的效果。对于下一节中的示例，我们将使用${\displaystyle\scriptstyle{\frac{1}{2}}-14i\，}$（在某种程度上接近一个著名的复数）作为另一个被乘数：

• 与1相乘，实部和虚部在值和符号上完全相同。因此，${\displaystyle\scriptstyle（{\frac{1}{2}}-14i）\times 1={\frac{1}{2}-14i\，}$.
• 乘以${\显示样式\脚本样式i\，}$使实部和虚部交换位置，新实部的符号与旧虚部的符号相反。因此，${\显示样式\脚本样式（{\frac{1}{2}-14i）\times i=14+{\frac{1}{2}}i\，}$.
• 乘以$｛\displaystyle-1｝$切换实部符号和虚部符号。因此，${\displaystyle\scriptstyle（{\frac{1}{2}}-14i）\times（-1）=-{\frac{1}{2}{+14i\，}$.
• 乘以${\显示样式\脚本样式-i\，}$使实部和虚部交换位置，新虚部的符号与旧实部的符号相反。因此，$｛\displaystyle\scriptstyle（｛\frac｛1｝｛2｝｝-14i）\times（-i）=-14-｛\frac｛1｝｛2｝｝i\，｝$.

如果某个部分碰巧是0，那么该部分的符号当然是无意义的。所以我们有纯乘法实数在复平面上与在实数线上完全相同，而纯虚正数的乘积给出纯实负数。

发件人欧拉身份 ${\显示样式\脚本样式e^{i\pi}\，=\，-1\，}$我们可以导出恒等式${\显示样式\脚本样式e^{i0}\，=\，1\，}$,${\displaystyle\scriptstylee^{\frac{i\pi}{2}}\，=\，i\，}$和${\显示样式\脚本样式e^{\frac{i3\pi}{2}}\，=\，-i\，}$，使我们能够重述上述单位乘法在复杂平面中的运动，从而：

• 乘以${\显示样式\脚本样式e^{0i}\，}$逆时针旋转一个角度${\显示样式\脚本样式0\，}$即零旋转。
• 乘以${\显示样式\脚本样式e^{\frac{\pii}{2}}\，}$逆时针旋转一个角度$｛\displaystyle\scriptstyle｛\frac｛\pi｝｛2｝｝\，｝$.
• 乘以${\显示样式\脚本样式e^{\pii}\，}$逆时针旋转一个角度${\显示样式\脚本样式\pi\，}$.
• 乘以${\displaystyle\scriptstylee^{\frac{3\pii}{2}}\，}$逆时针旋转角度${\displaystyle\scriptstyle{\frac{3\pi}{2}}\，}$.

使用${\显示样式\脚本样式z\，=\，{\frac{1}{2}}-14i\，}$，上图总结了上面所说的关于单位乘法的内容。

在数学软件和中PARI/GP公司，的虚单位是我，离开我免费用作迭代器或任何其他变量,常数或功能。谷歌计算器可以执行一些算术关于复数。

另请参见

• 高斯整数
• 艾森斯坦整数