用户：Charles Kusniec/C000885

C000885用非负整数填充的Athanasii-Kircheri三角形。

大局在https://oeis.org/wiki/文件：KusniecC000885.png

这个三角形的对称线

• 这个三角形的中心列是序列A002378号长方形数=2*A000217号三角形数字。

请注意，就数值而言，对称线位于中心柱的右侧：

${\显示样式1+2=3}$

${\显示样式4+5+6=7+8}$

${\显示样式9+10+11+12=13+14+15}$

…等等。

我们在中心列的两边都有素数。

所有行都以A000290型平方数，通过A002378号长方形数并以数字结尾A005563号（平方减去1）。

然后，我们有：

$square<oblong<oblong+{\frac{1}{4}}<\left（（next\square）\minuse\right）<next\平方$

或者，

$n^{2}=square<长方形<长方形+{\frac{1}{4}}<\left（（next\square）\minuse\right）<nexd\square=\ left（n+1\ right）^{2{$

或者，

${显示样式n^{2}$

或者，

$显示样式n^{2}^{2}-1<\左（n+1 \右）^{2}}{2}-1<\左（n+1 \右）^{2}}$

或者，

$显示样式n^{2}$

现在，当我们取每个元素类型的平方根时，我们得到：

$显示样式n<{\sqrt{n^{2}+n}}<n+{frac{1}{2}}<{\scrt{n^}2}+2n}}$

或者，

${显示样式n={\sqrt{square}}$

一个完美平方数的平方根总是产生一个整数。每个整数都是形式为（偶数/2）的有理数。

如果我们假设一个平方根的每个平方根都产生一个有理数，那么由于任何数（长方形+1/4）的平方根都会产生一个（奇数/2）=有理数的结果，我们将认为（长方形+1/4）是一个不完美的平方。

因此，我们可以将C000885的对称线想象成由非负整数填充的Athanasii Kircheri三角形是一个空列，其中（长方形+1/4）元素为绿色，如下图所示：

我们将C000893上面的三角形称为Athanasii-Kircheri三角形，其中填充了显示对称线的非负整数。

看看当我们取所有元素的平方根时会发生什么：

注意，只有完美和不完美的平方才有其有理平方根。所有其他元素都有无理平方根。

绿色对称线左侧的元素具有第一个小数位，数字从0到4。

绿色对称线右侧的元素具有小数点后第一位，数字从5到9。

请参见这些三角形的结果表：

${\显示样式n}$	$｛\displaystyle｛\sqrt｛n｝｝｝$		${\显示样式m}$	${\显示样式{\sqrt{m}}={\sqart{n}}-{\frac{1}{2}}}$
0	0		0	0
1	1		0.25	0.5
2	1.414213562		1	1
三	1.732050808		2	1.414213562
4	2		2.25	1.5
5	2.236067977		三	1.732050808
6	2.449489743		4	2
7	2.645751311		5	2.236067977
8	2.828427125		6	2.449489743
9	三		6.25	2.5
10	3.16227766		7	2.645751311
11	3.31662479		8	2.828427125
12	3.464101615		9	三
13	3.605551275		10	3.16227766
14	3.741657387		11	3.31662479
15	3.872983346		12	3.464101615
16	4		12.25	3.5
17	4.123105626		13	3.605551275
18	4.242640687		14	3.741657387
19	4.358898944		15	3.872983346
20	4.472135955		16	4
21	4.582575695		17	4.123105626
22	4.69041576		18	4.242640687
23	4.795831523		19	4.358898944
24	4.898979486		20	4.472135955
25	5		20.25	4.5
26	5.099019514		21	4.582575695
27	5.196152423		22	4.69041576
28	5.291502622		23	4.795831523
29	5.385164807		24	4.898979486
30	5.477225575		25	5
31	5.567764363		26	5.099019514
32	5.656854249		27	5.196152423
33	5.744562647		28	5.291502622
34	5.830951895		29	5.385164807
35	5.916079783		30	5.477225575
36	6		30.25	5.5

请看，在n列和m列的黄色方块数字之间，表格的两侧之间有一个之字形。此外，在桌子的两侧之间还有一个红色的带长方形数字的之字形。像sin和cos这样的锯齿线之间存在偏移。

（平方减1）数字和（奇数/2）平方数字也是如此。这是以这样的方式发生的：${\显示样式{\sqrt{m}}={\sqart{n}}-{\frac{1}{2}}}$.

素数分布

因此，我们可以说：

• 中心柱右侧的第一个垂直柱是序列A002061号中心多边形数${\显示样式y^{2}\pm y+1}$.

• （平方减1）数字的序列A005563号形成三角形的右边缘。
  • 这个三角形的右边是A002061号中心多边形数和A005563号（平方减去1）包括它们的数字。
  • 三角形的右边是序列https://oeis.org/A063657。它们是整数，其平方根的第一个十进制数字是5、6、7、8或9。
  • 三角形右侧的素数是序列https://oeis.org/A334163它们是素数，其平方根的第一个十进制数字是5、6、7、8或9。

• 平方数的序列A000290型形成三角形的左边缘。
  • 这个三角形的左边是A000290型平方数和A002378号包括它们在内的长方形数。
  • 三角形的左边是序列https://oeis.org/A063656。它们是整数，其平方根的第一个十进制数字是0、1、2、3或4。
  • 三角形左侧的素数是序列https://oeis.org/A307508它们是素数，其平方根的第一个十进制数字是0、1、2、3或4。

请参阅素数表的“筛子”：

质数来自A307508型在左侧和从A334163型在右边

A063656号	平方英尺(A063656号)	${\displaystyle\left\lfloor\left（{\sqrt{A063656}}-\left\lploor{\sqrt{A0636506}}\right\rfloor\right）*10\right\floor}$		A063657号	平方英尺(A063657号)	$｛\displaystyle\left\lfloor\left（｛\sqrt｛A063657｝｝-\left\lfloor｛\sqrt｛A063657｝｝\right\lfloor\right）*10\right\lfloor｝$
0	0	0		三	1.732050808	7
1	1	0		7	2.645751311	6
2	1.414213562	4		8	2.828427125	8
4	2	0		13	3.605551275	6
5	2.236067977	2		14	3.741657387	7
6	2.449489743	4		15	3.872983346	8
9	三	0		21	4.582575695	5
10	3.16227766	1		22	4.69041576	6
11	3.31662479	三		23	4.795831523	7
12	3.464101615	4		24	4.898979486	8
16	4	0		31	5.567764363	5
17	4.123105626	1		32	5.656854249	6
18	4.242640687	2		33	5.744562647	7
19	4.358898944	三		34	5.830951895	8
20	4.472135955	4		35	5.916079783	9
25	5	0		43	6.557438524	5
26	5.099019514	0		44	6.633249581	6
27	5.196152423	1		45	6.708203932	7
28	5.291502622	2		46	6.782329983	7
29	5.385164807	三		47	6.8556546	8
30	5.477225575	4		48	6.92820323	9

进行密度和数量研究：

序列A063656号和A063657号.

顺序$｛\displaystyle\left\lfloor\left（｛\sqrt｛A063656｝｝-\left\lfloor｛\sqrt｛A063656｝｝\right\lfloor\right）*10\right\lfloor｝$.

顺序${\displaystyle\left\lfloor\left（{\sqrt{A063657}}-\left\lploor{\sqrt{A0636507}}\right\rfloor\right）*10\right\floor}$.

顺序${\displaystyle\left\lfloor\left（{\sqrt{A307508}}-\left\lploor{\sqrt{A3075008}}\right\rfloor\right）*10\right\floor}$.

顺序${\displaystyle\left\lfloor\left（{\sqrt{A334163}}-\left\lploor{\sqrt{A334165}}\right\rfloor\right）*10\right\floor}$.

行的总和

• 中心柱左侧的第一个垂直柱为A165900个，斐波那契多项式的值${\显示样式y^{2}\pm y-1}$。此外A165900个（年）${\displaystyle=y*（y-1）\pm（y+（y-1））}$是总和或差额两个连续整数与这两个连续整型之和的乘积。A055112号是产品，A165900个是总和或差额。
• 行总和为https://oeis.org/A055112 ${\显示样式\pm 2y^{3} -3年^{2} \pm y\equiv y（y-1）（2y-1）=长方形*奇数=y（y-1）（y+（y-1{3} -3年^{2} \pm y\equiv y（y-1）（2y-1）=长方形*奇数=y（y-1）（y+（y-1$是两个连续整数的乘积乘以这两个连续整数的和。
  • https://oeis.org/A055112= 6 *https://oeis.org/A000330网址
  • 的部分和https://oeis.org/A055112是https://oeis.org/A083374= 12 *https://oeis.org/A002415.
  • 第一部分差异https://oeis.org/A055112是https://oeis.org/A033581= 6 *https://oeis.org/A000290网址.
  • 第二部分差异https://oeis.org/A055112是https://oeis.org/A017593= 6 *https://oeis.org/A005408.
  • 第三部分差异https://oeis.org/A055112是https://oeis.org/A010851= 6 *https://oeis.org/A007395.