“;至少还要再过一百万年我们才能理解素数”;—保罗·埃尔德
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59,...}
在给定的整数环中质数是那些只能被他们自己、他们的同伴和单位环的,但它们本身不是单位。例如,在整数环中,47是一个素数,因为它只能被–47、–1、1和它本身整除,而不能被其他整数整除。另一方面,48不是素数,因为除了可以被-48、-1、1和它本身整除之外,它还可以被-24、-16、-12等整除复合数如果质数是整数的乘法“原子”,则合成数是“分子”
直到20世纪初第个世纪,1被认为是质数。前一个定义允许单位被视为素数。新的定义,不包括集合素数中的单位,源于20世纪初抽象代数的发展第个世纪,现在被大多数数学家所接受。[1]只与正整数有关这意味着从要求一个素数只能被1和它本身整除(1满足的要求微不足道)到要求一个质数正好有两个不同的除数。例如,47有两个不同的除数(1和47本身),而1只有一个除数,即1本身。
零、单位、素数和合成
零可被all整除(无穷多个)非零整数(因此0既不是素数也不是素数混合成的)它也不是非零整数的乘积。零也是不可逆的(因此0不是一个单位)。
A类单元(即可逆整数)既不是素数也不是复合数,因为它可以被任何非一致整除,因此既不是质数也不是复合数。
整数可以是
- 负数复合数:{−4,−6,−8,−9,−10,−12,−14,−15,−16,−18,−20,−21,−22,−24,−25,−26,−27,−28,…}(−1×A002808号)
- 负素数:{−2,−3,−5,−7,−11,−13,−17,−19,−23,−29,−31,−37,−41,−43,−47,-53,-59,…}(−1×A000040型)
- 负值单位:{−1}
- 零: {0}
- 阳性单位:{1}
- 正素数:{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,…}(A000040型)
- 正复合数:{4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20,21,22,24,25,26,27,28,…}(A002808号)
算术基本定理
- 文章主页:算术基本定理
算术基本定理断言,每个非零整数都可以用唯一的方式写成素数的乘积,最多可达订购和乘法单位例如,12的唯一因子分解是22× 3. 因此,既不是2×3×2也不是(-1)2223构成了不同的因式分解:前者是不同的顺序,而后者乘以单位-1。
素数的无穷大
- 文章主页:欧几里德关于素数无穷多的证明
在《第九卷元素》中,欧几里德证明了存在无穷多个素数:他表明,如果我们假设素数集是有限的,就会产生矛盾。有其他方法可以证明这一事实,但欧几里德的方法仍然被认为是最优雅的。
底漆密度
对于给定的正数,的值素数计数函数 大约为
或同等
第n素数
这个第个 首要的是渐近的
这个第个 首要的是渐近的
A033844号素数(2^n),n>=0。
- {2, 3, 7, 19, 53, 131, 311, 719, 1619, 3671, 8161, 17863, 38873, 84017, 180503, 386093, 821641, 1742537, 3681131, 7754077, 16290047, 34136029, 71378569, 148948139, ...}
素数定理
- 文章主页:素数定理
素数定理断言素数的渐近密度为
主要差距
这个第个 基本间隙 具有渐近平均值
1的素数间隙只发生一次,即在2和3之间,所有其他素数间隙都是偶数,因为除2以外的所有素数都是奇数。据推测,所有素数间隙都无限频繁地出现。
主间隙为2(双素数)被推测会无限频繁地发生,这就是双素数猜想.
大素数缺口
主要差距可以超过.(无限频繁?)
A182315号素数为素数(n),这样素数(n+1)-prime(n)>log(n)^2。
- {2, 3, 5, 7, 13, 23, 31, 113, 1327, 31397, 370261, 492113, 2010733, 20831323, 25056082087, 42652618343, 2614941710599, 19581334192423, ...}
素数倒数之和
由于素数的倒数之和发散(类似于自从),即。
虽然非常非常缓慢,但都是渐进增长
这意味着素数是无限的。
更换通过给出了收敛级数(请参见A137245号)(类似于自从)
while(请参见A115563号)
和(参见A????)
关于素数的其他事实
定理。 (费马)奇数素数可以表示为两个正方形在一种且只有一种方式下的差值。也就是说在中只有一个解决方案和.
证明。我们可以扩展作为.因为我们规定是质数,因此和或和假设是前者,我们可以解决和由此可见如定理所规定。 □
例如,7=42– 32.
序列
A137245号素数p=2,3,5,7,11上和1/(p*log p)的十进制展开。。。
- {1, 6, 3, 6, 6, 1, 6, 3, 2, 3, 3, 5, 1, 2, 6, 0, 8, 6, 8, 5, 6, 9, 6, 5, 8, 0, 0, 3, 9, 2, 1, 8, 6, 3, 6, 7, 1, 1, 8, 1, 5, 9, 7, 0, 7, 6, 1, 3, 1, 2, ...}
请注意,这几乎是(略小于)1+2/Pi=1.63661977236758……(巧合与否?)
另请参见
笔记
外部链接