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素数计数函数

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作为一个算术函数过度定义正整数,的素数计数函数
π()
数数有多少素数有多达
.
π()=0
对于
<2个
.
例如,
π(100)=25
因为一组素数
100
{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97}
.

A000720
圆周率(n)
,素数
  ≤  n
(有时称为
普莱米皮(n)
把它和数字区分开
3.14159。。。
)
{0,1,2,2,3,3,4,4,4,5,5,6,6,6,6,7,8,8,8,9,9,9,9,9,9,9,9,10,11,11,11,11,11,12,12,12,12,12,13,14,14,14,14,15,15,15,15,15,15,16,16,16,16,16,16,16,16,16,16,17,…}
序列给出了
π()
对于整数价值观
=1
。请注意,虽然逐步函数总是一个整数,它的参数可以是任何实数,理性的不合理的因此,
π(
22
7
)=2,π(π)=2个
π(e)=1
.[1]

算法

有几种有效的算法可以计算
π()
可分为两类


该值在中可用巴黎/GP在“primepi(x)”和“primepi[x]中数学软件.

Dirichlet母函数

这个Dirichlet母函数因为质数函数是

哪里
p
首要的
b(s)
的Dirichlet生成函数素数的特征函数(A010051型).

渐近行为

这个素数定理给了我们一种方法来获得一个估计值,这个估计值越大,就越精确(就相对误差而言)
[2]

自从

[3]
威尔逊素递归
Wn
(参见A007097号),我们有
π(Wn) =Wn   − 1
,因为
Wn
Wn   − 1
最好的。我们可以把素数计数函数看作是具体的情况
π1()
函数的
πk()
它计算的是
k
主要因素。根据素数定理,我们可以得到以下近似值(当
k=1
,整个第二个被乘数变成
1
)

替代定义

质数计数函数是求和函数素数的特征函数

哪里
n#
素数阶乘属于
n
[·]
艾弗森支架.

作为一个算术函数定义在实数,我们得到

我们也可以把它定义为

哪里
[·]
艾弗森支架,或

或者(以下是真的吗?)

具有
σ0(n)
(
τ(n)
,τ(n))成为除数功能,
σ1(n)
(
σ(n)
,西格玛(n))成为除数和功能和
σk(n)
(除数函数)成为总计k除数幂功能。

小于的素数b^n

素数小于或等于的素数
bn
给出确定素性属于
b2n
通过审判庭.

小于或等于素数二^n

A007053号素数
  ≤   2n,n  ≥   0
.
{0,1,2,4,6,11,18,31,54,97,172,309,564,1028,1900,3512,6542,12251,23000,43390,82025,155611,295947,564163,1077871,2063689,3957809,7603553,14630843,28192750,54400028,…]

小于或等于素数2^(2)^n)

A153450素数
  ≤   22n=琵琶(A001146),n  ≥   0
.
{1,2,6,54,6542,203280221,}
质数达到
22n
从质数到
22n   − 1,n  ≥   1个,
埃拉托什尼筛给出了一个求任意整数的所有素数的归纳算法(模空间和时间约束…),这意味着所有奇素数最终由唯一的偶数素数决定,即2,最奇素数。。。小于或等于的素数
22n,n  ≥   0,
其中每个子集都由前面的子集精确地确定,则
{2},{2,3},{2,3,5,7,11,13},{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113,127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,
179、181、191、193、197、199、211、223、227、229、233、239、241、251},…}

小于的素数e^n

A040014型素数
<en,n  ≥   0
.
{0,1,4,8,16,34,79,183,429,1019,2466,6048,14912,37128,93117,234855,595341,1516233,3877186,9950346,25614562,66124777,171141897,443963543,1154106844,3005936865,…]

小于的素数10个^n

A006880型素数
<10岁n,n  ≥   0
.
{0,4,25,168,1229,9592,78498,664579,5761455,50847534,455052511,4118054813,37607912018,346065536839,3204941750802,29844570422669,2792838341033925,262355757654233,…]

另请参见

笔记

  1. π()
    成为素数计数函数虽然
    π
    是常数圆周率,
    ϕ
    成为黄金分割率.
  2. 数论,函数
    日志
    总是指自然对数,即对底的对数
    e
    ,
    日志e
    ,
    e
    存在欧拉数。这里需要澄清的原因是黎曼假设在丹·罗克莫尔之前出版的跟踪黎曼假说,您将更可能看到这个公式用“ln”而不是“log”表示。
  3. 曼弗雷德R.施罗德,数论在科学和通信中的应用:在密码学、物理、数字信息、计算和自相似性方面的应用,第5版,斯普林格(2009)第50页。