素数计数功能

作为算术函数定义在正整数，的素数计数函数 

π (x个)

计算数量素数最多有个 

x个

. 

π (x个) = 0

对于 

x个< 2

.
例如， 

π (100) = 25

自素数集到 

100

是 

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}

.

A000720号 

圆周率 (n个)

，素数 

≤  n个

.（有时称为 

PrimePi公司 (n个)

把它和数字区分开来 

3.14159...

)

 

{0, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 17, 17, ...}

序列给出了 

π (x个)

对于整数的值 

x个

从开始 

x个= 1

。请注意，虽然逐步函数始终是整数，其参数可以是任何实数，理性的或不合理的因此， 

π ( 22 7 )= 2,π (π) = 2

和 

π (e（电子）) = 1

.

算法

有几种有效的算法可以计算 

π (x个)

分为两类

• 组合算法（通过包含-排除),
• 分析算法（计算黎曼-泽塔函数 

  ζ (x个)

  或其他高精度功能）。

该值在中可用PARI/GP公司作为“primepi（x）”和“primepi[x]in数学软件.

Dirichlet生成函数

这个Dirichlet生成函数素数计数函数为

$D_{\{\pi（n）\}}（s）：=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\pi（n）}{n^{s}}=\sum_{i=1}^}{\frac{s^{p_{i}}{1-s}}，\，$

哪里 

第页我

是 

我

第个 首要的和 

b条 (秒)

是Dirichlet生成函数素数的特征函数(A010051型).

渐进行为

这个素数定理为我们提供了一种方法来获得更准确的估计值（就相对误差而言） 

x个

是

${\显示样式\pi（x）\sim{\frac{x}{\logx}}，\，}$

自从

${\displaystyle\lim_{x\to\infty}{\frac{\pi（x）\logx}{x}}=1.\，}$

在威尔逊原发性复发 

W公司n个

（请参见A007097号)，我们有 

π (W公司n个) =W公司n个   − 1

，自 

W公司n个

是 

W公司n个   − 1

第个素数。我们可以将素数计数函数视为具体情况 

π1(x个)

函数的 

πk个 (x个)

它统计了多达多少个数字 

x个

有 

k个

主要因素。根据素数定理，我们可以导出以下近似值（当 

k个= 1

，整个第二个被乘数变为 

1

)

${\显示样式\pi_{k}（x）\sim{\frac{x}{\logx}}{\frac{（log\logx）^{k-1}}{（k-1）！}}.\，}$

替代定义

素数计算函数是求和函数的素数的特征函数

${\displaystyle\pi（n）：=\sum_{i=1}^{n}\chi_{{\mbox{prime}}}}（i）=\sum_{i=1{n}[\gcd（i，\lfloor{\sqrt{i}}\rfloor\#）=1]，\，}$

哪里 

n个#

是素数阶乘属于 

n个

和 

[·]

是艾弗森支架.

作为算术函数定义在实数，我们得到

${\displaystyle\pi（x）=\sum_{i=1}^{\lfloorx\rfloor}\chi_{{\mbox{prime}}}（i）.\，}$

我们也可以将其定义为

${\displaystyle\pi（x）=\sum_{i=1}^{\lfloor x\rfloor}[\sigma_{0}（i）=i^{0}+1]=\sum_{i=1}^{\ lfloor x \rfloor}[\sigma_}（i）=2]，\，}$

哪里 

[·]

是艾弗森支架，或作为

${\displaystyle\pi（x）=\sum_{i=1}^{\lfloor x\rfloor}[\sigma_{1}（i）=i^{1}+1]=\sum_{i=1}^{\ lfloor x \rfloor}[\sigma_}（i）=i+1]，\，}$

或者（以下是真的吗？）

${\显示样式（？）\\pi（x）=\sum_{i=1}^{\lfloor x\rfloor}[\sigma_{k}（i）=i^{k}+1]，\，}$

具有 

σ0(n个)

( 

τ (n个)

,τ（n）)成为除数功能， 

σ1(n个)

( 

σ (n个)

,西格玛（n）)成为除数之和功能和 

σk个 (n个)

(除数函数)成为的总和k个第个除数的幂功能。

素数小于b条^n个

素数小于或等于 

b条 n个

给出了确定首要性属于 

b条 2n个

通过审判庭.

小于或等于的素数2^n个

A007053号素数 

≤   2 n个,n个  ≥   0

.

 

{0, 1, 2, 4, 6, 11, 18, 31, 54, 97, 172, 309, 564, 1028, 1900, 3512, 6542, 12251, 23000, 43390, 82025, 155611, 295947, 564163, 1077871, 2063689, 3957809, 7603553, 14630843, 28192750, 54400028, ...}

小于或等于的素数2^(2^n个)

A153450型素数 

≤   2 2 n个=PiPrime(A001146号),n个  ≥   0

.

 

{1, 2, 6, 54, 6542, 203280221, ...}

素数达到 

2 2 n个

从素数到 

2 2 n个   − 1,n个  ≥   1,

使用埃拉托西尼筛这给出了一个归纳算法，可以找到所有整数以内的素数（模空间和时间约束……）。这意味着所有奇数素数最终都是由唯一的偶数素数决定的，即2，最奇异的素数。。。素数小于或等于 

2 2 n个,n个  ≥   0,

其中每个子集都是由前面的子集精确确定的

 

{{2}, {2, 3}, {2, 3, 5, 7, 11, 13}, {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251}, ...}

素数小于e（电子）^n个

A040014型素数 

<e（电子） n个,n个  ≥   0

.

 

{0, 1, 4, 8, 16, 34, 79, 183, 429, 1019, 2466, 6048, 14912, 37128, 93117, 234855, 595341, 1516233, 3877186, 9950346, 25614562, 66124777, 171141897, 443963543, 1154106844, 3005936865, ...}

素数小于10^n个

A006880型素数 

< 10 n个,n个  ≥   0

.

 

{0, 4, 25, 168, 1229, 9592, 78498, 664579, 5761455, 50847534, 455052511, 4118054813, 37607912018, 346065536839, 3204941750802, 29844570422669, 279238341033925, 2623557157654233, ...}

另请参见

• 素数的特征函数