通用公式:A(x)=1+2*x+10*x^2+68*x^3+550*x^4+5100*x^5+53668*x^6+644328*x*x^7+9018182*x^8+153030092*x^9+3321466604*x^10+。。。
其中A(x)=1/(x*F(oo,x)),其中F(oo,x)是以下过程的极限。
从F(0,x)=1/x开始,继续F(n,x)=(F(n-1,x)^n-2^(n+1)*x^n)^(1/2^n)for n>0,如下所示:
F(0,x)=1
F(1,x)=(F(0,x)^2-4*x)^(1/2)
F(2,x)=(F(1,x)^4-16*x^2)^(1/4)
F(3,x)=(F(2,x)^8-64*x^3)^(1/8)
F(4,x)=(F(3,x)^16-256*x^4)^(1/16)
F(5,x)=(F(4,x)^32-1024*x^5)^(1/32)
F(6,x)=(F(4,x)^64-4096*x^5)^(1/64)
...
则当n接近无穷大时,A(x)等于1/F(n,x)的极限:
1/F(1,x)=1+2*x+6*x^2+20*x^3+70*x^4+252*x^5+924*x^6+。。。
1/F(2,x)=1+2*x+10*x ^2+60*x ^3+390*x ^4+2652*x ^5+18564*x ^6+。。。
1/F(3,x)=1+2*x+10*x^2+68*x^3+534*x^4+4524*x^5+40068*x^6+。。。
1/F(4,x)=1+2*x+10*x^2+68*x^3+550*x^4+5068*x^5+51492*x^6+。。。
1/F(5,x)=1+2*x+10*x^2+68*x^3+550*x^4+5100*x^5+53604*x^6+。。。
1/F(6,x)=1+2*x+10*x^2+68*x^3+550*x^4+5100*x^5+53668*x^6+。。。
...
相关系列。
注意,A(x/2)是x中具有分数系数的幂级数,而对数导数似乎是整数级数:
A'(x/2)/A(x/2)=1+4*x+19*x^2+100*x^3+581*x^4+3742*x^5+27063*x^6+225608*x^7+2257705*x^8+28543914*x^9+478859723*x^10+。。。
此外,A(x/2)^2似乎是一个整数系列:
A(x/2)^2=1+2*x+6*x^2+22*x^3+92*x^4+430*x^5+2240*x^6+13126*x^7+886606*x^8+718610*x^9+7429776*x*x^10+104210506*x^11+2065002874*x^12+。。。