这些是形式为Sum[(x_i)^2,i:1 to k]=Sum[。
将LHS和RHS与Sum[(+/-)(x_i)^2,i:1到50]=0中的正负项对齐(或反之亦然)后的解,其中正负号计数为p和m
50个变量(Mink50)的Minkowski签名,其中考虑了所有可能性。这个想法很有用,因为下面给出的示例将各种x^2上的关联方程表示为零,因此度量告诉我们,点和平凡变换是原点。由此,我们可以将单位50球体定义为返回1而不是0的点。
序列可以向前或向后读取-如果解相反,则50-k/k的解就是k/50-k的解。
非标准条目为2、3、20、23、24、26、27、30、47和48。
包含1个以上解决方案的条目有2、5、6、7、9、10、12、13、16、34、37、38、40、41、43、44、45和48。
解决方案的LHS与RHS解决方案没有相同元素的条目有1、2、3、5、9、41、45、47、48和49。
猜想:如果一个向量(x1,…,x50)对签名S是零,那么它对签名S'也是零,没有其他签名T。{S'是S的补码签名-所有的符号都颠倒了,所以如果S=(+,-,-,+,-),那么S'是(-,+、-,+)}。
这是一个微不足道的错误-例如考虑Mink10上的1,1,1,1,2,1,1,1,1,1,1,2-满足这两个条件++++-++++-
和+++-----+,但它们不是互补的。然而,我们认为它们是局部互补的,因此是微不足道的反例。
因此,我们修改了这个猜想,即如果我们将Z_S定义为S的整数零点集,将Z_t定义为所有非S或S'(即属于t)的签名t的整数零点集合,那么Z_S不是Z_t的子集。相反,对于某些S,Z_S是Z_t子集,则意味着S没有函数。
对于k=1,这个猜想显然是正确的,而且对于k+1,也没有“共享零”。对于k=2,选择2个正方形中的一个,这样它就不能被其他48个正方形的某些组合所等于,因此它必须与其配对正方形组合,因此S(2)必须是唯一的整数零。对于k=3,我们要求3个可用平方中的2个不可匹配,它们的和也不可匹配。这个方法可以推广到更高的k,但是这样一个零的基本存在性在最初变得越来越不可证明。
有三个具有平凡解的空间,即25/25、40/10和45/5。对于25/25,取任意25个整数,放在+上。同样的25个整数放在-上,结果为零。对于其他2个,分别考虑10个和5个正方形。然后在LHS上复制4个副本,并将每个RHS条目乘以4(9乘以45/5),即可得到所需的结果。请注意,这些远不是所有的解决方案,而是容易生成的解决方案。
k=25,40和45的第一个非平凡解是40,40和45。
其他空间(但不是所有空间)都有可简化或缩短的解决方案。这些也不包括所有的解决方案,但确实提供了一种“简单的方法”。例如,a^2+b^2+c^2=d^2+e^2的任何解(例如,4+4+9=1+16)都可以用来为48/2和30/20空格寻找零。对于48/2,复制16份LHS,并将RHS元素乘以16(表示为“Cx16”)。对于30/20,制作10份LHS和RHS副本(表示为“CC10”)。示例部分列出了缩短的解决方案的完整列表。如果运算是Cx或xC,则数字必须是正方形-如果运算是CC,则可以是任何数字。
另一个例子是1平方成6平方(1:6)。这有两种解决方案,分别是48/2和30/20。对于48/2,我们首先得到CC2(2:12)和xC乘以4。对于30/20,CC乘以5,xC乘以4。(2:3)和(1:6)是仅有的两个不同签名的简短解决方案。
包含至少一个缩短解决方案的条目为2、4、5、6、8、10、12、14、15、16、18、20、22、23、24、26、27、28、30、32、34、35、36、38、40、42、44、45、46和48。
这些值的缩短解的数量是4、1、1、2、3、2、三、1、3、6、5、2、1、三、3、1、二、五、六、三、一、三、三、二、三、四。
请参阅“链接”以获取缩短的解决方案列表。