%I#40 2024年3月7日10:46:22

%S 1,1,1,1,4,12,1,9,72360,116240288020160,12560012600201600，

%电话：1814400,136126040320108864021772800239500800,1,492352105840，

%电话：4233600139708800335301120043589145600、1,6440322419201330560063868800249080832006974263296001046139494400

%N行读取的三角形：T（N，k）=（-1）^k*Product_{j=0..k-1}（j-N）*（j+N），对于0<=k<=N。

%C定义，以及T（n，k）=ff（n，k）*rf（n，C）的表示（见第一个公式），使得把这个三角形称为中心阶乘数很自然。

%F T（n，k）=下降阶乘（n，k）*上升阶乘（n，k）。

%F T（n，k）=（n*（n+k-1）！）/（n-k）！如果k>0，且T（n，0）=1。

%F调用第二个公式cf中的数字可以得到令人难忘的形式cf（n，k）=ff（n，k）*rf（n，c）。这个恒等式推广到函数

%F cf（x，n）=x*伽马（x+n）/伽马（x-n+1），对于n>0且cf（x、0）=1。

%F最后一个等式表明，变量“n”不一定是整数，但如果只定义了商，则可以是任何复数（通常可以通过取极限来实现）。事实上，在经典的Steffensen-Riordan案例中，使用了n/2而不是n，这导致了斯隆在A008955中讨论的复杂情况。

%F T（n，k）=-n*Pochhammer（1-n-k，2*k-1），对于n>0。

%F T（n，k）=k*二项式（n，k）*Pochhammer（n，k）=k*A370706（n，k）。

%F T（n，n）=n*Pochhammer（n，n）（对n>=0有效，而T（n，n）=（2*n）/2=A002674（n）仅对n>=1有效）。

%如果k>0，则F T（n，k）=T（n，k-1）*（n^2-（k-1）^2），否则为1。（重复）

%F（n，k）是多项式Pcf（n，x）=Product_{k=0..n-1}（x^2-k^2）的值，其系数对于奇幂为零，对于偶幂为A269944。

%F T（n，k）=Pcf（k，n），其中Pcf（k，x）=总和{j=0..k）（-1）^（k-j）*A269944（k，j）*x^（2*j）。

%F中心阶乘可以用三种不同的方式来描述：通过乘积T（n，k）=F（n，k）*rf（n，k-），通过复函数cf（x，n），以及通过多项式Pcf（n，x）。尽管这些关系是自包含的，但它们仅被视为更一般概念的一半，即第一类中心因子。

%F与第一类斯特林数（A048994）有基本联系。看到这一点最简单的方法是推广定义：让CF（z，s）=Product_{j=0..n-1}（z-s（j）），其中s（j）是一些复杂序列。如果s=0，1，2，…，则CF（z，s）的系数等于Stirling_1数。。。，n、 。。。，如果s=0，1，4，…，它们等于Pcf（n，z）多项式的系数。。。，n^2。。。。（这也是为什么A269944被称为“2阶斯特林循环数”。为了完整性，如果s=1，1，…，那么CF（z，s）的系数，即“0阶斯特林周期数”，就是有符号的Pascal三角形A130595。订单3见A269947。）

%e三角形开始：

%e[0]1；

%e[1]1，1；

%e[2]1、4、12；

%e[3]1、9、72、360；

%e[4]1、16、240、2880、20160；

%e[5]1、25、600、12600、201600、1814400；

%电子[6]1、36、1260、40320、1088640、21772800、239500800；

%电子[7]1、49、2352、105840、4233600、139708800、3353011200、43589145600；

%e、。

%e T（n，k）是一个产品，其中“n”是“中心”，“k”是产品的“半长”。例如，T（5，4）=（5-3）*（5-2）*（5-1）*5*5*（5+1）*（5+2）*（5+3）=201600。现在考虑多项式P（4，x）=-36*x^2+49*x^4-14*x^6+x^8。在x=5时计算该多项式，结果表明P（4,5）=201600=T（5,4）。多项式的系数为A269944的第4行。

%p T：=（n，k）->局部j；（-1）^k*mul（（j-n）*（j+n），j=0..k-1）：

%p序列（序列（T（n，k），k=0..n），n=0..8）；

%p#中心阶乘数：

%p cf:=（n，k）->ifelse（k=0，1，n*（n+k-1）！/（n-k）！）：

%p表示n从0到6的do-seq（cf（n，k），k=0..n）od；

%p#替代（重复）：

%p T:=proc（n，k）选项记忆；

%p如果k=0，则1其他T（n，k-1）*（n^2-（k-1）^2）fi结束：

%p代表0到7的n，do seq（T（n，k），k=0..n）od；

%p#说明与cf-多项式及其系数的关系：

%p cfpoly:=（n，x）->局部k；mul（x^2-k^2，k=0..n-1）：

%p A370707行：=n->局部k；[seq（cfpoly（k，n），k=0..n）]：

%p A204579行：=n->局部k；[seq（系数（cfpoly（n，x），x，2*k），k=0..n）]：

%对于0到5之间的n，p执行lprint（[n]，A370707行（n），A204579行（n））od；

%t t[n_，k_]：=如果[n==0，1，-n Pochhammer[1-n-k，2k-1]]；

%t表[t[n，k]，{n，0，8}，{k，0，n}]//展平

%o（SageMath）

%o def T（n，k）：返回falling_factoral（n，k）*rising_factorial（n，k）

%o表示范围（9）中的n：打印（[T（n，k）表示范围（n+1）中的k]）

%o（Python）

%o来自math导入prod

%o定义T（n，k）：返回（-1）**k*prod（（j-n）*（j+n），对于范围（k）中的j）

%o打印（[T（n，k）表示范围（8）中的n，k表示范围（n+1）中的k]）

%Y对角线：A002674，A327882。

%Y列：A000290、A047928。

%Y参见A370704（行总和）、A370706、A094728、A048994（斯特林1）、A130595（订单0）、A269947（订单3）

%K nonn，表

%0、5

%阿佩特·卢什尼，2024年2月27日