%I#46 2024年2月9日12:38:11
%S 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,,1,1,11,1,1,1，1,1,1,1-1,1,1,1，1,1,1,1,1,1，
%T 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,,1,1,11,1,1,1，1,1，1，1,1,1，
%U 1,1,1,5,1,1,1,1,1,1,1,1,3,1,3,1,1,11,1,1,1,1,1,1
%N行读取的三角形：T（N，k）是R（N，k）的分母，由恒等式Sum_{i=0..l-1}Sum__{j=0..m}R（m，j）*（l-i）^j*i^j=l^（2*m+1）隐式定义，适用于所有l，m>=0。
%H Antti Karttunen，n表，n=0..10439的a（n）（三角形的前144行）</a>
%H P.-Y.Huang、S.-C.Liu和Y.-N.Yeh，<a href=“https://doi.org/10.37236/3693“>某些生成函数中系数的有限和的同余</a>，组合数学电子期刊，21（2014），#P2.45。
%H C.Jordan，<a href=“https://oeis.org/A002457/A002457_1.pdf“>《有限差分微积分》</a>，布达佩斯，1939年。[仅第448-450页的注释扫描]
%H Petro Kolosov，<a href=“https://arxiv.org/abs/1603.02468“>关于二项式定理与幂函数离散卷积之间的联系，arXiv:1603.02468[math.NT]，2016-2020。
%H Petro Kolosov，<a href=“https://kolosovpetro.github.io/pdf/coefficients_of_polynomial.pdf“>定义和数值表。
%H Petro Kolosov，<a href=“https://arxiv.org/abs/2101.00227“>奇数幂函数的不寻常标识，arXiv:2101.00227[math.GM]，2021。
%H Petro Kolosov，<a href=“https://kolosovpetro.github.io/pdf/PolynomialIdentityInvolvingBT和Faulhaber.pdf“>涉及二项式定理和Faulhaber公式的多项式恒等式，2023年。
%H Petro Kolosov，<a href=“https://kolosovpetro.github.io/pdf/HistoryAndOverviewOfPolynomialP.pdf“>多项式P_b^m（x）的历史和概述，2024年。
%H数学溢出，<a href=“https://mathoverflow.net/q/297900“>2018年对这些系数的讨论。
%F由_Max Alekseyev_给出的递归（请参阅MathOverflow链接）：
%如果k＜0或k＞n，则F R（n，k）＝0。
%F R（n，k）=（2k+1）*二项式（2k，k），如果k=n。
%F R（n，k）=（2k+1）*二项式（2k，k）*和{j=2k+1…n}R（n、j）*二项式（j，2k+1）*（-1）^（j-1）/（j-k）*伯努利（2j-2k），否则。
%F T（n，k）=分母（R（n，k））。
%e三角形开始：
%电子-----------------------------------------------------
%e k=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 15
%e（电子）-----------------------------------------------------
%e n=0:1；
%e n=1∶1，1；
%e n=2:1，1，1；
%e n=3:1、1、1和1；
%e n=4:1、1、1和1；
%e n=5:1、1、1和1；
%e n=6:1，1，1；
%e n=7:1，1，1；
%e n=8:1，1，1；
%e n=9:1，1，1；
%e n=10:1，1，1；
%e n=11:1,5,1,1,1,5,1,1,1,1,1,1；
%e n=12:1，3，1，3，1,1,1,1,1，1,1,1；
%e n=13：1，1，1；
%e n=14:1，1，1，1,1,1,1,1，1,1，1,1,1,1，1,1,1；
%e n=15:1，1，1，1,1,1,1,1，1,1，1,1,1,1，1,1,1；
%t R[n_，k_]：=0
%t R[n_，k_]：=（2 k+1）*二项式[2 k，k]*
%t和[R[n，j]*二项式[j，2k+1]*（-1）^（j-1）/（j-k）*
%tBernoulliB[2j-2k]，{j，2k+1，n}]/；2 k+1<=n
%t R[n_，k_]：=（2n+1）*二项式[2n，n]/；k==n；
%t t[n_，k_]：=分母[R[n，k]]；
%t（*打印三角形A304042*的15个初始行）
%t列[表[t[n，k]，{n，0，15}，{k，0，n}]，居中]
%o（PARI）
%o up_to=1274；\\=二项式（50+1,2）-1
%o A304042aux（n，k）=if（（k<0）||（k>n），0，（k+k+1）*二项式（2*k，k）*if（k==n，1，总和（j=k+k+1，n，A304042辅助（n，j）*二项式（j，k+1）*（（-1）^（j-1））/（j-k）*bernfrac（2*（j-k））））；
%o A304042tr（n，k）=分母（A304042辅助（n，k））；
%o A304042list（up_to）={my（v=向量（up_to），i=0）；对于（n=0，oo，对于（k=0，n，如果（i++>up_to，返回（v））；v[i]=A304042 tr（n，k））；（v）；}；
%o v304042=A304042列表（1+up_to）；
%o A304042（n）=v304042[1+n]；\\_Antti Karttune_，2018年11月7日
%Y分子如A302971所示。
%Y参考A287326、A300656、A300785、A007318、A027641、A027642、A055012、A077028、A000146、A002882、A003245、A127187、A127188、A074909、A164555。
%K non，tabl，压裂
%O 0.68号
%A科洛索夫石油公司，2018年5月5日
