%I#92 2023年4月27日17:53:45

%S 1,1,1,1,2,1,3,1,4,5,4,1,5,9,9,5,1,6,7,16,7,6,1,1,7,15,25，

%电话25,15,7,1,1,8,11,36,11,361,8,1,1,9,27,49,35,49,27,9,1,10,25，

%U 64,13,90,13,64,25,10,1,11,21,81125,77,77125,81单元

%N具有非负整数系数的一不定多项式的编码乘法表。反对偶读取对称方阵T（n，k），n>0和k>0。有关详细信息，请参阅注释。

%C对于任意数n>0，设f（n）是单不定x中的多项式，其中x^e的系数是n的素数（1+e）-点值（其中素数（k）表示第k个素数）；f在具有非负整数系数的单不定x中建立了正数和多项式之间的双射；设g是f的逆；T（n，k）=g（f（n）*f（k））。

%C该表与A248601有许多相似之处。

%C对于任意n>0和m>0，f（n*m）=f（n）+f（m）。

%此外，f（1）＝0并且f（2）＝1。

%函数f可以自然地推广到正有理数集：如果r=u/v（不一定是约化形式），则f（r）=f（u）-f（v）；因此，f是从正有理数的乘法群到具有整数系数的单不定x的多项式的加法群的同态。

%C T的主对角线见A297473。

%C作为二进制运算，T（.，.）与A306697（.，..）和A329329（.，..）相关。当它们的操作数是A050376项（有时称为Fermi-Dirac素数）时，这三个操作给出了相同的结果。然而，T（.，.）的乘法表的其余部分可以从这些结果中导出，因为T（.、.）分布在整数乘法（A003991）上，而对于A306697和A329329，等效推导分别使用分布在A059896（.，，.）和A059897（.，..）上_Peter Munn，2020年3月25日

%C From _Peter Munn，2021年6月16日：（开始）

%C这个序列定义的运算可以扩展为同构于多项式环Z[x]的正理性上的环的乘法算子。扩展函数f（在作者的原始注释中描述）是我们使用的同构，它与存在于其未扩展等价物之间的扩展运算具有相同的关系。

%将T（.，.）的扩张表示为tQ（.，..），我们得到tQ（n，1/k）=tQ（1/n，k）=1/T（n，k；t_Q（Q*r，s）=t_Q（Q，s）*t_Q（r，s。这看起来可能不太寻常，因为有理数的标准乘法扮演了环的加法群的角色。

%C有许多OEIS序列可以显示为该环理想中的整数列表。请参阅交叉引用。

%C有一些完全可加序列，它们通过扩展类似地定义了正有理数上的完全可加函数，这些函数可以被证明是从这个环到整数环Z的同态，并且这些函数与一些理想有关。例如，A048675的扩展函数（表示为A048675_Q）将i/j映射到正整数i和j的A04867五（i）-A048675（j）。对于任何正整数k，集合{r有理数>0:k除A048675-Q（r）}形成环的理想；对于k=2和k=3，该理想中的整数分别列在A003159和A332820中。

%C（结束）

%H Rémy Sigrist，n表，n=1..5050的a（n）</a>

%H数学百科全书，<a href=“https://encyclopediaofmath.org/wiki/Additive_arithmetic_function网站“>加法算术函数</a>

%H数学百科全书，<a href=“https://百科全书ofmath.org/wiki/同构“>同构</a>

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/Distributive.html“>分布式</a>

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/Ring.html“>戒指。

%H维基百科，<a href=“https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_ring（英文）“>多项式环</a>

%F T在两个参数中都是完全乘法的：

%F-对于任何n>0

%素数因式分解Prod_{i>0}素数（i）^e_i的F-和k>0：

%F-T（素数（n），k）=T（k，素数（n））=Prod_{i>0}素数（n+i-1）^e_i。

%F对于任何m>0、n>0和k>0：

%F-T（n，k）=T（k，n）（T是可交换的），

%F-T（m，T（n，k））=T（T（m、n），k）（T是关联的），

%F-T（n，1）=1（1是T的吸收元件），

%F-T（n，2）=n（2是T的单位元），

%F-T（n，2^i）=n^i，对于任意i>=0，

%F-T（n，4）=n^2（A000290），

%F-T（n，8）=n ^3（A000578），

%F-T（n，3）=A003961（n），

%F-T（n，3^i）=A003961（n）^i，对于任意i>=0，

%F-T（n，6）=A191002（n），

%F-A001221（T（n，k））<=A001222（n）*A00122l（k），

%F-A001222（T（n，k））=A001225（n）*A001221（k），

%当n>1和k>1时，F-A055396（T（n，k））=A055396+A055396-1，

%当n>1和k>1时，F-A061395（T（n，k））=A061395+A061395-1，

%F-T（A000040（n），A000040，

%对于任何i>=0和j>=0，F-T（A000040（n）^i，A000040（k）^j）=A000040（n+k-1）^（i*j）。

%F From _Peter Munn，2020年3月13日和2021年4月20日：（开始）

%F T（A329050（i_1，j_1），A329050。

%F T（n，m*k）=T（n、m）*T（n和k）；T（n*m，k）=T（n，k）*T（m，k。

%F A104244（m，T（n，k））=A104244-（m，n）*A104244.（m，k）。

%F例如，对于m=2，上述公式等价于A048675（T（n，k））=A048675*A048675。

%F A195017（T（n，k））=A195017。

%F A248663（T（n，k））=A048720。

%F T（n，k）=A306697（n，k）当且仅当T（n、k）=A329329（n、k）。

%F A007913（T（n，k））=A007913。

%F（结束）

%e数组T（n，k）开始：

%电子邮箱|1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

%e（电子）---+------------------------------------------------

%e 1|1 1 1 1 1 11 1 1 1 1->A000012

%e 2 | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10->A000027

%e 3|1 3 5 9 7 15 11 27 25 21->A003961

%e 4|1 4 9 16 25 36 49 64 81 100->A000290

%e 5|1 5 7 25 11 35 13 125 49 55->A357852

%e 6|1 6 15 36 35 90 77 216 225 210->A191002

%电子邮箱：7 |1 7 11 49 13 77 17 343 121 91

%电子邮箱8 | 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000->A000578

%电话：9 | 1 9 25 81 49 225 121 729 625 441

%e 10 | 1 10 21 100 55 210 91 1000 441 550

%e From _Peter Munn，2021年6月24日：（开始）

%e A206284中进一步描述了用于表格的多项式f（n）的编码n。编码多项式示例：

%e n f（n）n f（n）

%e 1 0 16 4

%e 2 1 17 x ^6

%e 3 x 21 x ^3+x

%e 4 2 25 2x^2

%e 5 x ^ 2 27 3 x

%e 6 x+1 35 x ^3+x ^2

%e 7 x ^ 3 36 2x+2

%e 8 3 49 2x^3

%e 9 x 55 x ^4+x ^2

%e 10 x ^2+1 64 6

%e 11 x ^4 77 x ^4+x ^3

%e 12 x+2 81 x

%e 13 x ^5 90 x ^2+2x+1

%e 15 x ^2+x 91 x ^5+x ^3

%e（结束）

%o（PARI）T（n，k）=my（f=因子（n），p=应用（素数，f[，1]~），g=因子（k），q=应用（质数，g[，1]~））；prod（i=1，#p，prod（j=1，#q，素数（p[i]+q[j]-1）^（f[i，2]*g[j，2]））

%Y参见A001221、A007913、A048720、A061395、A055396、A206284、A248601、A248663。

%Y行n:n=1:A000012，n=2:A000027，n=3:A003961，n=4:A000290，n=5:A357852，n=6:A191002，n=8:A000578。

%Y主对角线：A297473。

%满足f（T（n，k））=f（n）*f（k）的Y函数：A001222，A048675（类似地，A104244的其他行），A195017。

%k的Y次幂：k=3:A000040，k=4:A001146，k=5:A031368，k=6:A007188（另见A066117），k=7:A031377，k=8:A023365，k=9:A329050的主对角线。

%由S:S={3}:A005408，S={4}:A000290\{0}，S=｛4,3}:AO03159，S={5}:A007310，S=0.5,4}:A339690，S=}6}:A325698，S=\{6}:A028260，S:{7}:A0007775，S=[8}:A000578\{0{，S=1{8,3}:A191257，S={8,6}:A332820，S=}9}:A016754，S=10,4}:A340784，S=[11}:A008364，S={12,8}:A145784，S={13}:A008365，S={15,4}:A345452，S=}15,9}:A046337，S=16}:A000583\{0}，S=17}:A0008366。

%Y多项式合成的等效序列：A326376。

%Y相关二进制运算：A003991、A306697/A059896、A329329/A059897。

%K non、tabl、mult

%O 1,5型

%A雷米·西格里斯特，2018年1月10日

%E来自Peter Munn的新名称，2021年7月17日