%I#122 2022年9月8日08:46:20

%S 1,3,5,4,9,11,9,5,12,12,7,23,8,20,29,6,33,35,20,39,41,28,12,36,15,51，

%电话53,36,44,24,20,7,65,36,69,60,42,15,20,52,81,83,9,60,89,60,40,95,12，

%U 99、84、66105、28、18、37113、30、92119、81、36、25、8、36131、22135、20、30、47、60、48116132100、5155

%N 2n+1个字母上“内向外”排列的顺序。

%C“内-外”置换（与蒙琴洗牌密切相关，参见A019567）发送（t1，t2，…，t{2n+1}）到（t{n+1}，t{n+2}，t{n}，t_{n+3}，t_{n-1}，…，t1）。对于n=0，1，2，3，这是（1），（2,3,1），（3,4,2,5,1）和（4,5,3,6,2,7,1）。

%C这是A238371的奇二分法，也是A003558的奇二分法（见下文约瑟夫·韦特雷尔的评论）。

%H Robert Israel，n的表，n=0..10000的a（n）</a>

%H N.J.A.Sloane，N表，N=0..32683的A（N）（使用Robert Israel的Maple程序计算）

%F置换将i（1<=i<=2n+1）发送到p（i）=n+1+F（i），其中F（i）=（-1）^i*上限（（i-1）/2）。

%F a（n）=最小k>0，使得p^k（）=p^0（）。

%F a（（A163778（n）-1）/2）=A163778_Andrew Howroyd_，2017年11月11日。

%F发件人：Joseph L.Wetherell，2017年11月14日：（开始）

%F a（n）等于作用于（Z/（4n+3）Z）中非零元素集的乘b2的阶数，模等于+-1的作用。准确地说，确定i=1,2，。。。，2*n+1，奇代表J=1,3，。。。，这个集合的4*n+1，通过映射J=2*i-1。不难证明，如果i=（J+1）/2是偶数，那么J值集上的诱导置换是由J->（4*n+3+J）/2在整数表示上给出的；如果i=。由此可见，这诱导了排列J->+-J/2（mod 4*n+3），从中我们可以立即看出顺序如所述。

%F注意，2作用于（Z/（4n+3）Z）/{+-1}的顺序与2或-2作用于（Z/（4n+3）Z）的顺序相同，取决于其中哪一个是模4n+3。因此，计算a（n）的等效（通常更容易）方法是：作用于（Z/（4n+3）Z）上的-2*（-1）^n的顺序。

%F除其他外，上下限log_2（n）+2<a（n）<=2*n+1紧随其后。

%F（结束）

%F当2n+1属于A163778或等效的当n属于A294434时，上界a（n）=2n+1出现。这几乎（但不完全）源于安德雷·霍罗伊和约瑟夫·韦特雷尔的上述评论_N.J.A.Sloane，2017年11月16日

%e对于n=2：迭代长度为2n+1=5的字符串的“内向外”排列：

%电子12345

%e 34251电话

%电子25413

%电话41532

%电子53124

%电子12345

%e。。。

%e的阶数为a（2）=5。

%p f：=进程（n）

%p ilcm（op（映射（nops，转换）（映射（op，[n+1]，seq（[n+1+i，n+1-i]，i=1..n）），disjcyc））

%p端程序：

%p映射（f，[$0..100]）；#_Robert Israel_，2017年11月9日

%t a[n_]：=乘数阶[-2（-1）^n，4n+3]；

%t a/@范围[0，100]（*_Jean-François Alcover_，2020年4月7日*）

%o（PARI）

%o跟随（s，f）={my（t=f（s），k=1）；while（t>s，k++；t=f（t））；if（s==t，k，0）}

%o循环多边形（n，x）={my（p=0）；对于（i=1，2*n+1，my（l=跟随（i，j->n+1+（-1）^j*ceil（（j-1）/2））；如果（l，p+=x^l））；p}

%o a（n）={my（p=CyclePoly（n，x），m=1）；对于（i=1，极度（p），如果（polcoeff（p，i），m=lcm（m，i））；m}\\安德鲁·霍罗伊德，2017年11月8日

%o（PARI）a（n）=znorder（Mod（如果（n%2,2，-2），4*n+3））\\参见Wetherell公式_Charles R Greathouse IV_，2017年11月15日

%o（岩浆）

%o f:=func<n|订单（Sym（2*n+1）！[n+1+（-1）^i*天花板（（i-1）/2）:i in[1..2*n+1]]）>；

%o[0..100]]中的[f（n）：n；\\_Joseph L.Wetherell_，2017年11月12日

%o（岩浆）

%o[顺序（整数（4*n+3）！-2*（-1）^n）：[0..100]]中的n；

%2017年11月15日，Joseph L.Wetherell

%Y参见A003558、A019567、A163778、A238371、A294434。

%K nonn，看

%0、2

%A _P.Michael Hutchins_，2017年11月6日