%I#27 2018年12月22日03:26:18

%第1、3、9、45297243323949275145361217753348193875453589页，

%电话：1580299954531119604085766388172623531521855979229，

%电话：3754366520240745985757242883543372749997026637342138123029971195215286925327071873556147458312435811344344612061728645798036372607938778773

%例如：（cosh（2*x）+sinh（2*x）*cosh（x））/（cosh。

%C极限（a（n）/n！）^（-1/n）=log（t）=0.609377863436…其中t是摩擦学常数，满足1+t+t^2=t^3。

%C一般来说，例如f.（cosh（p*x）+sinh（p*x）*cosh（q*x））/（cosh。

%例如：（cosh（x）+正弦（x）*余弦（2*x））*（余弦（2*x）+正弦波（2*x）*余弦波（x））/（1-正弦（x）^2*正弦（2*x）^2）。

%例如：（cosh（x）*cosh（2*x）+sinh（x）+正弦（2*x））/（1-正弦（x）*正弦（2**））_Paul D.Hanna，2018年12月22日

%F例如：A（x）=B（x）*C（x），其中B（x。

%F例如，设F.A（x）=A0（x）+A1（x），其中A0（x）=（A（x

%F（1）A0（x）^2-A1（x）*2=1。

%F（2）经验（x）=（A0（x）+A1（x）*cosh（2*x））*。

%F（3）exp（2*x）=（A0（x）+A1（x）*cosh（x））*。

%F From _Paul D.Hanna，2018年12月22日：（开始）

%F（4）经验（x）=（A0（x）*cosh（2*x）+A1。

%F（5）exp（2*x）=（A0（x）*余弦（x）+A1（x）-正弦（x））/（（1+sinh（x）*A1（x。（结束）

%F术语公式。

%F From _Paul D.Hanna，2018年12月22日：（开始）

%F a（n）=和{k=0..n}2^k*A322620（n，k）。

%Fa（n）=Sum_{k=0..n}2^k*二项式（n，k）*A322190（n，k）。（结束）

%例如：A（x）=1+3*x+9*x^2/2！+45*x^3/3！+297*x^4/4！+2433*x^5/5！+。。。

%e使得A（x）=B（x）*C（x），其中

%e B（x）=1+x+x^2/2！+13*x^3/3！+49*x^4/4！+361*x^5/5！+3121*x^6/6！+。。。

%e C（x）=1+2*x+4*x^2/2！+14*x^3/3！+64*x^4/4！+602*x^5/5！+5344*x^6/6！+。。。

%e分别是A245138和A245139的e.g.f.s。

%e设A（x）=A0（x）+A1（x），其中

%e A0（x）=1+9*x^2/2！+297*x^4/4！+23949*x^6/6！+3612177*x^8/8！+。。。

%e A1（x）=3*x+45*x^3/3！+2433*x^5/5！+275145*x^7/7！+53348193*x ^ 9/9！+。。。

%e则A0（x）^2-A1（x）*2=1。

%e注意，对数是一个奇数函数：

%e对数（A（x））=3*x+18*x^3/3！+570*x^5/5！+46158*x^7/7！+6959250*x^9/9！+1686709398*x^11/11！+599570355930*x ^13/13！+3754366520240745*x ^15/15！+。。。

%因此A（x）*A（-x）=1。

%o（PARI）{a（n）=局部（X=X+X^2*o（X^n））

%o表示（n=0,30，打印1（a（n），“，”）

%o（PARI）{a（n）=局部（X=X+X^2*o（X^n））；n！*polceoff（（cosh（X）+sinh（X）*cosh（2*X））*（cosh

%o表示（n=0,30，打印1（a（n），“，”）

%Y参见A245138、A245139、A24.5155和A245166。

%Y参考A322620、A322190。

%K nonn公司

%0、2

%A _保罗·D·汉纳，2014年7月12日