%I#197 2023年7月2日13:20:06

%S 1,2,3,1,4,1,5,2,6,2,1,7,3,1,8,3,1,1,9,4,2,10,4,1,11,5,2,12,5,3,1，

%T 13,6,3,1,14,6,2,15,7,4,2,1,16,7,2,1,17,8,4,2,1,18,8,5,3,19,9,5，

%U 3,1,20,9,5,3,2,21,10,6,3,2,1,22,10,10,6,4,2,12,23,11,6,4,12,24,11,7,4,2,1

%N按行读取的不规则三角形：T（N，k），N>=1，k>=1。其中，k列以非递减顺序列出每个正整数的k个副本，k列的第一个元素位于k（k+1）/2行。

%C第n行元素的交替平方和等于所有正整数<=n的所有除数之和，即总和{k=1..A003056（n）}（-1）^（k-1）*（T（n，k））^2=A024916（n）。

%C第n行的长度为A003056（n），因此第k列的第一个元素位于第A000217（k）行。

%C更多信息见A236104。

%C第n行的和给出A060831（n），即所有正整数的奇数除数之和<=n.-OAmar E.Pol_，2014年3月1日。[一个等价的断言是，A237048的第n行之和是n的奇数除数，这一点已由_Hartmut F.W.Hoft_在A237048中的注释中证明。-_N.J.A.Sloane，2020年12月7日]

%C来自_Franklin T.Adams-Waters_关于A235791和相关序列中“sigma对称表示”相关序列的评论，2014年3月31日：（开始）

%C首先使用A235791，这非常简单。然后转到A237591（也很简单）和A237593（仍然很简单）。

%C然后需要将A237593的行解释为Dyck路径。这种解释是根据行程长度进行的，因此2,1,1,2表示向上两次、向下一次、向上一次和向下两次。因为A237593的行是对称的，并且长度均匀，所以此路径始终是对称的。

%C现在令人惊讶的事实是，n的Dyck路径所包围的区域（位于其一侧）总是包括n-1的包围区域；加上的平方数是sigma（n）。

%C最后，看由n而非n-1封闭的连接区域；这些区域的大小是sigma的对称表示。（结束）

%C From _Hartmut F.W.Hoft_，2014年4月7日：（开始）

%已经编写了C Mathematica函数来检查n=20000之前的第一个属性。

%C T（n，（sqrt（8n+1）-1）/2+1）=0表示所有n>=1，这对于A237591和A237593的公式很有用。（结束）

%C交替行总和得出A240542_Omar E.Pol，2014年4月16日

%C猜想：T（n，k）也是所有小于等于n的正整数被精确划分为k个连续部分的总数，即A285898的部分列和，或按照相同族的三角形：A237048的部分列总和_Omar E.Pol_，2017年4月28日，2020年11月24日

%C上述推测是正确的。很快就会添加证明（它使用列的生成函数）_N.J.A.Sloane，2020年11月24日

%C T（n，k）也是σ（n）对称表示的最大Dyck路径的第k个顶点和中心顶点之间所有线段的总长度。换句话说：T（n，k）是A237591的第n行的最后（A003056（n）-k+1）项的总和_Omar E.Pol，2021年9月7日

%C T（n，k）也是三角形A237593第n行中描述的Dyck路径第k个顶点和中心顶点之间的曼哈顿距离_Omar E.Pol，2023年1月11日

%H G.C.Greubel，n表，a（n）用于前150行，扁平</a>

%F T（n，k）=天花板（（n+1）/k-（k+1）/2），对于1<=n，1<=k<=地板（（sqrt（8n+1）-1）/2）=A003056（n）.-_Hartmut F.W.Hoft_，2014年4月7日

%k列（k>=1）的F G.F:x^（k*（k+1）/2）/（（1-x）*（1-x^k））_N.J.A.Sloane，2020年11月24日

%F T（n，k）=和{j=1..n}A237048（j，k）.-_Omar E.Pol_，2017年5月18日

%F T（n，k）=平方（A236104（n，k））_Omar E.Pol_，2018年2月14日

%F Sigma（n）=和{k=1..A003056（n）}（-1）^（k-1）*（T（n，k）^2-T（n-1，k）*2），假设T（k*（k+1）/2-1，k）=0.-_Omar E.Pol_，2018年10月10日

%F a（s（n，k））=T（n，k），n>=1，1<=k<=r=楼层（（sqrt（8*n+1）-1）/2），其中s（n、k）=r*n-r*（r+1）*（r+2）/6+k将此序列三角形中的位置（第n行，第k列）转换为其在序列中的位置_Hartmut F.W.Hoft_，2021年2月24日

%e三角形开始：

%e 1；

%e 2；

%e 3，1；

%e 4，1；

%e 5，2；

%e 6、2、1；

%e 7、3、1；

%e八、三、一；

%e第9、4、2条；

%e 10、4、2、1；

%e 11、5、2、1；

%e 12、5、3、1；

%e 13、6、3、1；

%e十四、六、三、二；

%e第15、7、4、2、1条；

%e第16、7、4、2、1条；

%e 17、8、4、2、1；

%e第18、8、5、3、1条；

%e第19、9、5、3、1条；

%e第20、9、5、3、2条；

%e第21、10、6、3、2、1条；

%e 22、10、6、4、2、1；

%e第23、11、6、4、2、1条；

%e第24、11、7、4、2、1条；

%e第25、12、7、4、3、1条；

%e第26、12、7、5、3、1条；

%e第27、13、8、5、3、2条；

%e第28、13、8、5、3、2、1条；

%e。。。

%e对于n=10，三角形的第10行是10，4，2，1，所以我们得到10^2-4^2+2^2-1^2=100-16+4-1=87，与A024916（10）=87相同，所有正整数的所有除数之和<=10。

%e自2015年11月19日_Omar e.Pol_起：（开始）

%e第三象限中初始项的图解：

%e、。年

%e行_|

%e 1 _ |1|

%e 2 _ |2_|

%e 3_|3|1|

%e 4_|4_|1|

%e 5_|5|2_|

%e 6_|6_|2|1|

%e 7_|7|3|1|

%e 8 _ |8 _ |3 _ |1|

%e 9 _|9 |4 |2_|

%e 10 _ |10 _ |4 | 2 |1|

%e 11_|11|5_|2|1|

%e 12_|12_|5|3|1|

%e 13 _ |13 | 6 | 3 _ |1|

%e 14_|14_|6_|3|2_|

%e 15 _ | 15 | 7 | 4 | 2 | 1|

%e 16_|16_|7|4|2|1|

%e 17_|17|8_|4_|2|1|

%e 18 _ |18 _ |8 | 5 | 3 | 1|

%e 19 _ |19 | 9 | 5 | 3 _ |1|

%e 20 _ |20 _ |9 _ |5 | 3 | 2_|

%e 21 _ | 21 | 10 | 6 _ | 3 | 2 | 1|

%e 22 _ |22 _ |10 | 6 | 4 | 2 | 1|

%e 23 _ |23 | 11 _ |6 | 4 | 2 | 1|

%e 24_|24_|11|7|4_|2|1|

%e 25_|25|12|7_|4|3|1|

%e 26_|26_|12_|7|5|3_|1|

%e 27 _ |27 | 13 | 8 | 5 | 3 | 2_|

%e 28|28|13|8|5|3|2|1|

%e。。。

%e T（n，k）也是第k垂直线段（从左到右）和结构第n行中y轴之间的单元数。

%e注意，结构第n行中水平线段的数量等于A001227（n），即n的奇数除数。

%e该图还表示A245092中所述金字塔前视图的左侧。（结束）

%e有关图表的更多信息，请参见A286001_Omar E.Pol_，2020年12月19日

%e来自Omar e.Pol_，2021年9月8日：（开始）

%e对于n=12，第四象限中sigma（12）的对称表示如下所示：_

%电子||

%电子||

%电子||

%电子||

%电子||

%e _ _ _ ||

%e _ | __|

%电子_||

%电子|_|

%电子|__|

%e _ _ _ _ _|3 1

%e | _ _ _ __|

%e 12 5

%e、。

%e对于n＝12和k＝1，最大Dyck路径的第一个顶点和中心顶点之间的所有线段的总长度等于12，因此T（12，1）＝12。

%e对于n=12和k=2，第二个顶点和最大Dyck路径的中心顶点之间的所有线段的总长度等于5，因此T（12,2）=5。

%e对于n=12和k=3，第三个顶点和最大Dyck路径的中心顶点之间的所有线段的总长度等于3，因此T（12.3）=3。

%e对于n=12和k=4，第四个顶点和最大Dyck路径的中心顶点之间的所有线段的总长度等于1，因此T（12,4）=1。

%e因此，第12行三角形为[12,5,3,1]。（结束）

%t行[n_]：=楼层[（Sqrt[8*n+1]-1）/2]；f[n_，k_]：=天花板[（n+1）/k-（k+1）/2]；表[f[n，k]，{n，1，150}，{k，1，row[n]}]//扁平（*哈特穆特·f·W·霍夫特，2014年4月7日*）

%o（PARI）行（n）=向量（（平方（8*n+1）-1）\2，i，1+（n-（i*（i+1）/2））\i）；\\_米歇尔·马库斯（Michel Marcus），2014年3月27日

%o（Python）

%o来自sympy导入sqrt

%o导入数学

%o定义T（n，k）：返回int（math.ceil（（n+1）/k-（k+1）/2））

%o表示范围（1，21）中的n：打印（[T（n，k）表示范围（1,int（数学.地板（（sqrt（8*n+1）-1）/2））+1）中的k）#_Indranil Ghosh_，2017年4月25日

%Y列1..3:A000027、A008619、A008620。

%行上的Y运算：A003056（项数）、A237591（项差）、A060831（和）、A339577（乘积）、A240542（交替和）、A236104（平方）、A339576（平方和）、A024916（交替平方和）、A237048（行差）、A042974（右边界）。

%Y参见A000203、A000217、A001227、A196020、A211343、A228813、A231345、A23134.7、A235794、A236106、A236112、A237270、A237271、A237593、A239660、A245092、A261699、A2626、A286000、A286001、A280850、A280851、A296508、A335616。

%K nonn，标签

%O 1,2号机组

%2014年1月23日，A _Omar E.Pol_。