%I#32 2024年4月23日15:20:07

%S 1,2,1210412161811232960071080961775493125046554624，

%电话：16094723276856943424798722214101571338249387011838312448，

%电话：43105167829735833621316106766597214721129526393420266496006385530513851424125747238364905163816800506241024

%N E.g.f.A（x）满足A（x/（exp（x）*cosh（x）））=exp（2*x）*cosh（2*x）。

%C更一般地，如果A（x/（exp（t*x）*cosh（t*x）））=exp（m*x）*cosh（m*x），

%C则A（x）=和{n>=0}m*（n*t+m）^（n-1）*cosh（（n*t+m）*x）*x^n/n！。

%H Vaclav Kotesovec，n的表格，n=0..300时的a（n）</a>

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.html“>Lambert W函数。

%例如：A（x）=Sum_{n>=0}2*（n+2）^（n-1）*cosh（（n+2）*x）*x^n/n！。

%例如：A（x）=1+Sum_{n>=0}2*（n+2）^（n-1）*sinh（（n+2）*x）*x^n/n！。

%F a（n）~c*n^（n-1）/（exp（n_Vaclav Kotesovec_，2014年7月13日，2019年6月10日更新

%F来自_Seichi Manyama_，2024年4月23日：（开始）

%F例如：A（x）=1/2+1/2*exp（2*x-2*LambertW（-x*exp（x）））。

%F a（n）=Sum_{k=0..n}（k+2）^（n-1）*二项式（n，k）对于n>0。

%计算公式：1/2+和{k>=0}（k+2）^（k-1）*x^k/（1-（k+2）*x）^。（结束）

%例如：A（x）=1+2*x+12*x^2/2！+104*x^3/3！+1216*x^4/4！+18112*x^5/5！+。。。

%e其中

%e A（x）=cosh（2*x）+2*3^0*cosh（3*x）*x+2*4^1*cosh2*5^2*cosh（5*x）*x^3/3！+2*6^3*cosh（6*x）*x^4/4！+2*7^4*cosh（7*x）*x^5/5！+。。。

%t nmin=0；nmax=18；溶胶={a[0]->1}；nsol=长度[sol]；

%t Do[A[x_]=总和[A[k]x^k/k！，{k，0，n}]/。溶胶；eq=系数列表[A[x/（Exp[x]Cosh[x]）]-Exp[2x]Cosh[2x]+O[x]^（n+1），x][[nsol+1；；]]==0/。溶胶；sol=sol~连接~求解[eq][1]，{n，nsol+1，nmax}]；

%t a/@范围[nmin，nmax]/。sol（*Jean-François Alcover，2019年11月6日*）

%o（PARI）{a（n）=局部（Egf=1，X=X+X*o（X^n），R=serreverse（X/（exp（X）*cosh（X）））；Egf=exp（2*R）*cosch（2*R）；n！*polcoff（Egf，n）}

%o表示（n=0,25，打印1（a（n），“，”）

%o（PARI）/*由LambertW恒等式导出的公式：*/

%o{a（n）=局部（Egf=1，X=X+X*o（X^n））；Egf=和（k=0，n，2*（k+2）^（k-1）*cosh（（k+2）*X）*X^k/k！）；n！*polcoeff（Egf，n）}

%o表示（n=0,25，打印1（a（n），“，”）

%Y参见A201595、A218301、A218302、A218303、A218304、A218305、A218306、A218307、A218308、A218309、A218310、A217900。

%Y参考A202357。

%K nonn公司

%0、2

%保罗·汉纳，2012年10月25日