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%I#56 2022年9月8日08:45:58
%S 1,1,2,1,5,6,1,8,21,18,11,45,81,54,14,78216297162,1,17120450，
%电话9451053486，20171810229538836451458，123311234725，
%电话：1077315309123934374,1,26302016869424948628583204155313122
%N三角形阵列：（x+1）^N和（x+2）^N的融合；融合定义见注释。
%假设p=p（n）*x^n+pp（1）*x+p（0）是多项式，Q是多项式序列
%C。。。
%Cq（k，x）=t（k，0）*x^k+t+t（k，k-1）*x+t（k、k），
%C。。。
%k=0,1,2，…时为C，。。。p的Q-upstep是以下公式给出的多项式
%C。。。
%C U（p）=p（n）*q（n+1，x）+p（n-1）*qp（0）*q（1，x）；注意，q（0，x）没有出现。
%C。。。
%现在假设P=（P（n，x））和Q=（Q（n，x））是多项式序列，其中n表示度。这里引入P与Q的融合，表示为P**Q，作为由W（0，x）=1和W（n+1，x）=U（P（n，x））定义的多项式的序列W=（W（n，x））。
%C。。。
%严格地说，**是多项式序列的运算。然而，如果P和Q被视为数字三角形（例如多项式的系数），那么**可以被视为对数字三角形的操作。在这种情况下，当n>=0时，P**Q的行（n+1）由矩阵乘积P（n）*QQ（n）给出，其中P（n）=（P（n，n）。。。p（n，n-1）。。。。。。p（n，1），p（n，0））和QQ（n）是由以下公式给出的（n+1）by（n+2）矩阵
%C。。。
%Cq（n+1,0）。。q（n+1，1）。。。。。。。。。。。q（n+1，n）。。。。q（n+1，n+1）
%C 0。。。。。。。。。q（n，0）。。。。。。。。。。。。。q（n，n-1）。。。。q（n，n）
%C 0。。。。。。。。。0…………..q（n-1，n-2）。。q（n-1，n-1）
%C。。。
%C 0。。。。。。。。。0…………q（2,1）。。。。。。q（2,2）
%C 0。。。。。。。。。0 ................. q（1,0）。。。。。。q（1,1）；
%这里，多项式q（k，x）取为
%Cq（k，0）*x^k+q（k、1）x^（k-1）+…+q（k，k）*x+q（k、k-1）；即，使用“q”代替“t”。
%C。。。
%C如果s=（s（1），s（2），s是一个序列，则表示为
%C（1）。。。第（2）节。。。第（3）节。。。第（4）节。。。第（5）节。。。
%C。。0…s（1）。。。第（2）节。。。第（3）节。。。第（4）节。。。
%C。。0……0……s（1）。。。第（2）节。。。第（3）节。。。
%C。。0……0………0…s（1）。。。第（2）节。。。
%C是s的自融合矩阵；例如，A202453、A202670。
%C。。。
%C示例：设p（n，x）=（x+1）^n和q（n，x）=（x+2）^n。然后
%C。。。
%根据w的定义，C w（0，x）=1
%Cw（1，x）=U（p（0，x））=U（1）=p（0,0）*q（1，x）=1*（x+2）=x+2；
%Cw（2，x）=U（p（1，x））=U；
%Cw（3，x）=U（p（2，x））=U；
%C。。。
%C从序列P**Q中的前4个多项式，当P、Q和P**Q被视为三角形时，我们可以写出P**Q的前4行：
%C1类；
%C 1，2；
%C 1、5、6；
%C 1、8、21、18；
%C。。。
%一般来说，如果P和Q是由P（n，x）=（ax+b）^n和Q（n，x）=（cx+d）^n给出的序列，那么P**Q是由（cx+d）（bcx+a+bd）^n给出的。
%C。。。
%C在下面的例子中，r（P**Q）是P**Q的镜像，通过颠倒P**Q行获得。
%C。。。
%C。。P…………..Q………P**Q……..r（P**Q）
%C（x+1）^n…..（x+1）^ n…..A081277….A118800（无符号）
%C（x+1）^n…..（x+2）^n..A193722….A193723
%C（x+2）^n…..（x+1）^n..A193724….A193725
%C（x+2）^n…..（x+2）^n..A193726….A193727
%C（x+2）^n…..（2x+1）^n.…A193728….A193729
%C（2x+1）^n…（x+1）……n…..A038763….A136158
%C（2x+1）^n…（2x/1）^n。…A193730….A193731
%C（2x+1）^n，。。。（x+1）^n…..A193734….A193735
%C。。。
%继续，让u表示多项式x^n+x^（n-1）++x+1，让Fibo[n，x]表示第n个Fibonacci多项式。
%C。。。
%C P………….Q………P**Q…….r（P**Q）
%C纤维[n+1，x]。。。（x+1）^n…A193736….A193737
%C u………….u……A193738….A193739
%Cu**u……….u**u..A193740….A193741
%C。。。
%C关于A193722：
%C列1。。。。。A000012号
%C第2列。。。。。A016789号
%C列3。。。。。A081266号
%C w（n，n）。。。。A025192美元
%C w（n，n-1）。。A081038号
%C。。。
%C与上述定义的“上台阶”相关的是A193842中定义的与裂变相关的“下台阶”。
%H Jinyuan Wang，<a href=“/A193722/b193722.txt”>三角形的n=0..101行，扁平</a>
%H克拉克·金伯利，<a href=“https://www.fq.math.ca/Papers1/52-3/Kimberling11132013.pdf“>融合、裂变和因子，Fib.Q.，52（2014），195-202。
%F三角形T（n，k），按行读取，由[1,0,0,0，0,0,1,0，…]DELTA[2,1,0,,0,0-0,00,0…]给出，其中DELTA是A084938中定义的运算符。-_Philippe Deléham，2011年10月4日
%F T（n，k）=3*T（n-1，k-1）+T（n-1，k），其中T（0,0）=T（1,0）=1，T（1,1）=2_Philippe Deléham，2011年10月5日
%F T（n，k）=3^（k-1）*（二项式（n-1，k）+2*二项式_G.C.Greubel，2020年2月18日
%e前六行：
%e 1；
%e 1、2；
%e 1、5、6；
%e 1、8、21、18；
%e 1、11、45、81、54；
%e 1、14、78、216、297、162；
%p融合：=proc（p，q，n）局部d，k；
%p p（n-1,0）*q（n，x）+加（系数（p（n-1，x），x^k）*q；
%p[1，seq（系数（%，x，n-1-k），k=0..n-1）]结束：
%p p：=（n，x）->（x+1）^n；q:=（n，x）->（x+2）^n；
%p A193722_行：=n->融合（p，q，n）；
%p代表0到5之间的n执行A193722_行（n）od；#_Peter Luschny_，2014年7月24日
%t（*第一个程序*）
%tz=9；a=1；b=1；c=1；d=2；
%t p[n，x_]：=（a*x+b）^n；q[n，x_]：=（c*x+d）^n
%t t[n_，k_]：=系数[p[n，x]，x^k]；t[n，0]：=p[n，x]/。x->0；
%tw[n，x_]：=和[t[n，k]*q[n+1-k，x]，{k，0，n}]；w[-1，x_]：=1
%t g[n_]：=系数列表[w[n，x]，{x}]
%t表格形式[表格[反向[g[n]]，{n，-1，z}]]
%t压扁[表[反向[g[n]]，{n，-1，z}]]（*A193722*）
%t表格形式[表格[g[n]，{n，-1，z}]]
%t压扁[表[g[n]，{n，-1，z}]]（*A193723*）
%t（*第二个程序*）
%t表[3^（k-1）*（二项式[n-1，k]+2*二项式[n，k]），{n，0,10}，{k，0，n}]//压扁（*_G.C.Greeubel_，2020年2月18日*）
%o（鼠尾草）
%o定义融合（p，q，n）：
%o F=p（n-1,0）*q（n，x）+加（展开（p（n-1，x））.系数（x，k）*q
%o返回[1]+[展开（F）.系数（x，n-1-k）（k in（0..n-1）]
%o A193842_row=λk：融合
%范围（7）内n的o：A193842_row（n）#_Peter Luschny_，2014年7月24日
%o（PARI）T（n，k）=3^（k-1）*（二项式（n-1，k）+2*二项式_G.C.Greubel，2020年2月18日
%o（岩浆）[3^（k-1）*（二项式（n-1，k）+2*二项式（n，k））：k in[0..n]，n in[0..10]]；//_G.C.Greubel，2020年2月18日
%o（GAP）平面（列表（[0..10]，n->List（[0..n]，k->3^（k-1）*（二项式（n-1，k）+2*二项式））；#_G.C.Greubel，2020年2月18日
%Y参见A081277、A084938、A118800、A193649、A193723-A193741、A202453。
%K nonn，表格
%0、3
%A_Clark Kimberling_，2011年8月4日
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