%I#24 2015年2月19日14:47:04

%S 1,1,3,5,15,33,912215831465379596532483163441162763416525，

%电话：106757527336737003971173866145954543117709185301527355，

%电话：7723640931978473511

%N（N+1）st Fibonacci多项式的Q剩余，其中Q是t（i，j）=1给出的三角形数组（t（i），j）。（请参阅注释。）

%假设p=p（0）*x^n+p（1）*x~（n-1）++p（n-1）*x+p（n）是一个正次多项式，Q是多项式序列：Q（k，x）=t（k，0）*x^k+t（k、1）*x^（k-1）++t（k，k-1）*x+t（k、k），对于k=0,1,2，。。。p的Q降阶是由D（p）=p（0）*Q（n-1，x）+p（1）*Q+p（n-1）*q（0，x）+p（n）。

%C由于度（D（p））<度（p），D的n次应用的结果是一个常数，我们称之为p的Q剩余。如果p是一个常量，我们定义D（p）=p。

%C示例：设p（x）=2*x^3+3*x^2+4*x+5和q（k，x）=（x+1）^k。

%C D（p）=2（x+1）^2+3（x+1）+4（1）+5=2x^2+7x+14

%C D（D（p））=2（x+1）+7（1）+14=2x+23

%C D（D（D（p）））=2（1）+23=25；

%C p的Q残差为25。

%C我们可以将多项式序列Q视为由系数构成的三角形阵列：

%C t（0,0）

%C t（1,0）。。。。t（1,1）

%C t（2,0）。。。。t（2,1）。。。。t（2,2）

%C t（3,0）。。。。t（3,1）。。。。t（3,2）。。。。t（3,3）

%C，并将p视为向量（p（0），p（1），。。。，p（n））。如果P是多项式序列[或具有（第n行）=（P（0），P（1），…，P（n））的三角形数组]，则多项式的Q残数形成一个数字序列。

%C以下示例中，Q是t（i，j）=1表示0<=i<=j的三角形：

%C Q…..P………….Q P的残留物

%C 1…..1………….A000079，2^n

%C 1….（x+1）^n…………..A007051，（1+3^n）/2

%C 1….（x+2）^n…………..A034478，（1+5^n）/2

%C 1….（x+3）^n…………..A034494，（1+7^n）/2

%C 1….（2x+1）^n………….A007582

%C 1….（3x+1）^n………….A081186

%C 1….（2x+3）^n………….A081342

%C 1….（3x+2）^n………….A081336

%C1…..A040310………….A193649

%C 1….（x+1）^n+（x-1）^n）/2…A122983

%C1….（x+2）（x+1）^（n-1）。。。。。A057198号

%C1……（1,2,3,4，…，n）。。。。。。A002064号

%C1….（1,1,2,3,4，…，n）。。。。A048495号

%C1……（n，n+1，…，2n）。。。。。。。A087323号

%C1….（n+1，n+2，…，2n+1）。。。A099035型

%C1….p（n，k）=（2^（n-k））*3^k.A085350

%C 1….p（n，k）=（3^（n-k））*2^k.A090040

%C 1….A008288（德拉诺伊）。。。A193653号

%C 1….A054142…………..A101265

%C 1….分圆。。。。。。。。。。。A193650型

%C1….（x+1）（x+2）。。。（x+n）。。。A193651号

%C1….A114525………….A193662

%C更多示例：

%C Q…………..P……….Q P的残留物

%C（x+1）^n…（x+1）^n……A000110，贝尔数

%C（x+1）^n…（x+2）^n

%C（x+2）^n.…（x+1）^n………A028361

%C（x+2）^n……（x+2）…………A126443

%C（x+1）^n…..1…………..A005001

%C（x+2）^n…..1………….A193660

%C A094727…..1………….A193657

%C（k+1）。。。。。（k+1）。。。。。。。。。。。A001906（均匀光纤数）

%C（k+1）。。。。。（x+1）^n…………A112091

%C（x+1）^n…（k+1）。。。。。。。。。。。A029761号

%C（k+1）。。。。。。A049310……..A193663

%C（在最后四个中，（k+1）表示三角形t（n，k）=k+1，0<=k<=n。）

%C A051162…（x+1）^n………A193658

%C A094727…（x+1）^n………A193659

%C A049310…（x+1）^n………A193664

%C A075362……A075362.……A193665

%稍稍改变符号，就会得到下面的Mathematica程序和下面的p的Q下降公式：首先，将t（n，k）写成Q（n，k）。定义r（k）=和{q（k-1，i）*r（k-1-i）：i=0,1，…，k-1}然后D（p）的行n由v（n）=和（p（n，k）*r。

%F猜想：G.F.:-（1+x）*（2*x-1）/（（x-1）*（4*x^2+x-1））_R.J.Mathar，2015年2月19日

%e Fibonacci多项式（A049310）的Q，系数的前五行：

%第1页

%e 1…0

%e 1…0…1

%e 1…0…2…0

%e 1…0…3…0…1

%e为获得a（4）=15，向下四步：

%e D（x^4+3*x^2+1）=（x^3+x^2+x+1）+3（x+1）+1:（1,1,4,5）[系数]

%e DD（x^4+3*x^2+1）=D（1,1,4,5）=（1,2,11）

%e DDD（x^4+3*x^2+1）=D（1,2,11）=（1,14）

%e DDDD（x^4+3*x^2+1）=D（1,14）=15。

%tq[n，k]：=1；

%tr[0]=1；r[k_]：=Sum[q[k-1，i]r[k-1-i]，{i，0，k-1}]；

%t f[n_，x_]：=斐波那契[n+1，x]；

%t p[n_，k_]：=系数[f[n，x]，x，k]；（*A049310*）

%tv[n]：=和[p[n，k]r[n-k]，{k，0，n}]

%t表格[v[n]，{n，0，24}]（*A193649*）

%t表格形式[表格[q[i，k]，{i，0，4}，{k，0，i}]]

%t表[r[k]，{k，0，8}]（*2^k*）

%t表格形式[表格[p[n，k]，{n，0，6}，{k，0，n}]]

%Y参见A192872（多项式约简）、A193091（多项式增广）和A193722（多项式序列或三角形阵列的步进运算和融合）。

%K nonn公司

%0、3

%A_Clark Kimberling_，2011年8月2日