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%I#43 2022年9月8日08:45:58
%S 1,0,3,4,13,30,812085471428374197902563367104175683459940，
%电话：12041413152478825329721607408568931148099380387729213，
%电话：1015088254265753555369518400
%N将注释中给出的多项式p（N，x）减少（x^2->x+1）的常数项。
%多项式p（n，x）定义为p（0，x）=1，p（1，x）=x，并且p（n、x）=x*p（n-1，x，）+（x^2）*p（n-1，x）+1。由此产生的序列代表了一个我们将在这里描述的一般类。假设u，v，a，b，c，d，e，f是用于定义这些多项式的数字：
%C。。。
%Cq（x）=x^2
%C s（x）=u*x+v
%Cp（0，x）=a，p（1，x）=b*x+C
%Cp（n，x）=d*x*p（n-1，x）+e*（x^2）*p（n-2，x）+f。
%C。。。
%我们假设u不是0，{d，e}也不是{0}。如A192232和A192744中定义和描述的，p（n，x）通过重复替换q（x）->s（x）的约简形式为h（n）+k（n）*x。数字序列h和k在形式上是5阶线性递归序列。下面的第二个Mathematica程序显示了初始项和递归系数，它们太长，无法包含在这里，这意味着这些属性：
%C（1）数字a，b，C，f影响初始项，但不影响递推系数，递推系数仅取决于u，v，d，e。
%C（2）如果v=0或e=0，重复的顺序是<=3。
%C（3）如果v=0和e=0，则递推次数为2，系数为1+d*u和d*u。
%C（其他p（n，x）的类似结果见A192904。）
%C。。。
%C示例：
%序列的备份…..序列k
%C1 1 1 2 0 1 0-A121646..A059929
%C1 1 1 3 0 1 0 A128533…A081714
%C1 2 1 0 1 1 0 A081714…A001906
%C1 1 1 1 1 11 1 0 A000045…A001906
%C1 2 1 1 1 1 10 A129905…A192879
%C1 1 1 2 1 1 0 A061646…A079472
%C 1 1 1 1 0 1 1 1 A192872…A192873
%C 1 1 1 1 2 1 A192874…A192875
%C1 1 1 1 1 2 1 1 A192876…A192877
%C1 1 1 1 1 2 1 A192880…A192882
%C1 1 1 1 1 11 1 1 A166536…A064831
%这些序列中的几个项是斐波那契数（A000045）或斐波那奇数和卢卡斯数（A00.0032）的乘积。
%H G.C.Greubel，n表，n=0..1000时的a（n）</a>
%H<a href=“/index/Rec#order_04”>具有常系数的线性重复出现的索引条目，签名（3,0，-3,1）。
%F a（n）=3*a（n-1）-3*a（n-3）+a（n-4）。
%联邦政府：（2*x-1）*（x^2-x+1）/（（x-1）*（1+x）*（x^2-3*x+1））_R.J.Mathar，2011年10月26日
%e所有多项式p（n，x）中的系数都是斐波那契数（A000045）。前六项及其削减：
%e p（0，x）=1->1
%e p（1，x）=x->x
%ep（2，x）=1+2*x^2->3+2*x
%e p（3，x）=1+x+3*x^3->4+7*x
%e p（4，x）=1+x+2*x^2+5*x^4->13+18*x
%e p（5，x）=1+x+2*x^2+3*x^3+8*x^5->30+49*x
%t（*第一个程序*）
%tq=x^2；s=x+1；z=26；
%tp[0，x_]：=1；p[1，x_]：=x；
%tp[n，x_]：=p[n-1，x]*x+p[n-2，x]x^2+1；
%t表[Expand[p[n，x]]，｛n，0，7｝]
%t减少[{p1_，q_，s_，x_}]：=固定点[（s多项式商@@#1+多项式余数@@#1&）[{#1，q，x}]&，p1]
%t t=表[reduce[{p[n，x]，q，s，x}]，{n，0，z}]；
%t u1=表[系数[部分[t，n]，x，0]，{n，1，z}]（*A192872*）
%t u2=表[系数[部分[t，n]，x，1]，{n，1，z}]（*A192873*）
%t（*第一个程序结束*）
%t（****************）
%t（*第二个程序：更通用*）
%t（*u=1；v=1；a=1；b=1；c=0；d=1；e=1；f=1；用户的九个自由度；显示的值生成A192872。*）
%tq=x^2；s=u*x+v；z=11；
%t（*将对p（n，x）应用约简（x^2->u*x+v）*）
%tp[0，x_]：=a；p[1，x_]：=b*x+c；
%t（*多项式序列p（n，x）的初始值*）
%tp[n，x_]：=d*x*p[n-1，x]+e*（x^2）*p[n-2，x]+f；
%t（*p（n，x）的递归*）
%t表格[展开[p[n，x]]，{n，0，7}]
%t减少[｛p1_，q_，s_，x_｝]：=固定点[（s多项式商@#1+多项式余数@#1&）[｛#1，q，x｝]&，p1]
%t t=表[reduce[{p[n，x]，q，s，x}]，{n，0，z}]；
%t u1=表[系数[部分[t，n]，x，0]，{n，1，z}]；
%t u2=表[系数[部分[t，n]，x，1]，{n，1，z}]；
%t简化[FindLinearRecurrence[u1]]（*表示0序列*）
%t简化[FindLinearRecurrence[u2]（*用于1序列*）
%t u1=表[系数[部分[t，n]，x，0]，{n，1，4}]
%t（*0序列的初始值*）
%t u2=表[系数[部分[t，n]，x，1]，{n，1，4}]
%t（*1序列的初始值*）
%t线性递归[{3,0，-3,1}，{1,0,3,4}，26]（*雷·钱德勒，2015年8月2日*）
%o（PARI）我的（x='x+o（'x^30））；Vec（（2*x-1）*（x^2-x+1）/（（x-1）*（1+x）*（x^2-3*x+1）））\\_G.C.格鲁贝尔，2019年1月6日
%o（岩浆）m:=30；R<x>：=PowerSeriesRing（整数（），m）；系数（R！（（2*x-1）*（x^2-x+1）/（（x-1）*（1+x）*（x^2-3*x+1）））；//_G.C.Greubel，2019年1月6日
%o（鼠尾草）（（2*x-1）*（x^2-x+1）/（（x-1）*（1+x）*（x^2-3*x+1））.系列（x，30）.系数（x，稀疏=假）#_G.C.格鲁贝尔，2019年1月6日
%o（间隙）a:=[1,0,3,4]；；对于[5..30]中的n，做a[n]：=3*a[n-1]-3*a[n-3]+a[n-4]；od；a、 #个_G.C.Greubel，2019年1月6日
%Y参见A192232、A192744、A192873、A192908（相邻项之和）。
%K nonn，简单
%O 0.3
%A_Clark Kimberling_，2011年7月11日
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