%I#20 2024年9月5日12:21:14

%S 1,1,1,1,3,7,3,1,1,6,27,37,27,6,1,10,76220331220,76,10,1,15,15，

%电话：176897243833412438897176,15,1,13572885128253080741343，

%电话：3080712825288535757,21,1,28658787153312203927452931589569

%N按行读取的三角形：T（N，k）是具有k个降的{1,2，…，2n}的不动点自由对合的数目（N>=1；1<=k<2n-1）。

%C行n包含2n-1个条目。

%C第n行条目之和=（2n-1）！！=A001147（n）。

%C和{k=1..2n-1}k*T（n，k）=A001879（n-1）。

%H J.Désarménien和D.Foata，<a href=“http://www.numdam.org/item？id=BSMF_1985__113__3_0“>《函数-对称与级数-超几何-基本-多列》，法国公牛社会数学，113，1985，3-22。

%H I.M.Gessel和C.Reutenauer，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/0097-3165（93）90095-P“>具有给定循环结构和下降集的计数置换。

%H.V.J.W.Guo和J.Zeng，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/j.jcta.2005.10.002“>对合的欧拉分布实际上是单峰的，J.Combin.Theory，Ser.a，113，2006，1061-1071。

%F递归：2nT（n，k）=[k（k+1）+2n-2]T（n-1，k）+2[（k-1）（2n-k-1）+1]T（n-1，k-1）+[（2n-k）（2n-k+1）+2n-2]T；参见第一个Maple程序）。

%F第n行的生成多项式为P（n，t）=（1-t）^｛2n+1｝*和（C（j（j+1）/2+n-1，n）*t^j，j=0..oo）（见Guo Zeng论文中的方程（2.2）；参见第二个Maple程序）。

%e T（3,2）=3，因为我们有215634、341265和351624。

%e三角形开始：

%e 1；

%e 1,1,1；

%e 1,3,7,3,1；

%e 1,6,27,37,27,6,1；

%e 1,10,76220331220,76,10,1；

%e。。。

%p T：=proc（n，k）如果k<=0或n<=0，则0 elif n=1且k=1，则1 elif 2*n<=k，则0为其他值（（1/2）*（k*（k+1）+2*n-2）*T（n-1，k）+（1/2）x（2*（k-1）*（2*n-k-1）+2）*T end-if-end过程：对于n到8个do-seq（T（n，k），k=1。。2*n-1）末端do；#程序结束

%p对于n到8做p[n]：=排序（展开（简化（（1-t）^（2*n+1）*（和（二项式（（1/2）*i*（i+1）+n-1，n）*t^i，i=0。。无穷大））end do：对于n到8 do seq（系数（P[n]，t，j），j=1。。2*n-1）末端do；#程序结束

%tT[n_，k_]：=其中[k<=0||n<=0，0，n==1&&k==1，1，2n<=k，0，真，（1/2）*（k*（k+1）+2n-2）*t[n-1，k]+（1/2）x（2*（k-1）*（2n-k-1）+（2n-1）+2）*t[n-1，k-2]）/n]；

%t表[t[n，k]，{n，1，8}，{k，1，2n-1}]//扁平化（*_Jean-François Alcover_，2024年9月5日，在第一个Maple项目之后*）

%Y参考A001147、A001879。

%K nonn，标签

%O 1,6型

%德国电子报，2009年6月9日