%I#124 2024年2月16日11:24:49
%S 1,1,0,-2,-4,-4,0,8,16,16,0,-32,-64,-64,0128256256,0,-512,-1024,
%电话:1024,0204840964096,0,-8192,-16384,-16384,0327686553665536,0,
%U-131072、-262144、-26244,052428810485761048576,0、-2097152、-4194304
%N(1-x)/(1-2*x+2*x^2)的展开。
%C该序列的部分和给出A099087_Philippe Deléham,2008年12月1日
%C From _Philippe Deléham,2013年2月13日,2013年02月20日:(开始)
%C序列项位于三角形的右边缘
%C(1)
%C(1)
%C2(0)
%C2(-2)
%C40(-4)
%C4-4(-4)
%C 8 0-8(0)
%C 8-8-8(8)
%C 16 0-16 0(16)
%C 16-16-16 16(16)
%C 32 0-32 0 32(0)
%C 32-32-32 32 32(-32)
%C 64 0-64 0 64 0(-64)
%C。。。
%C三角形的行和在A104597中。
%C(1+i)^n=a(n)+A009545(n)*i,其中i=sqrt(-1)。(结束)
%C来自Tom Copeland,2014年11月8日:(开始)
%C该数组是加泰罗尼亚族(A091867)的一个成员,由C(x)=(1-sqrt(1-4*x))/2、加泰罗尼亚语数字A000108的o.g.f.、其逆Cinv(x)=x(1-x)以及特殊的线性分数(Möbius)变换P(x,t)=x/(1+t*x)和x中的逆P(x、-t)组成。
%计算公式:g(x)=P[P[Cinv(x),-1],-1]=P[Cinv(x,-2]=x*(1-x)/(1-2*x*(1-x))=x*A146599(x)。
%C Ginv(x)=C[P(x,2)]=(1-平方米(1-4*x/(1+2*x)))/2=x*A126930(x)。
%CG(-x)=-(x*(1+x)-2*(x*,因此,该数组包含A030528*Diag(1,(-2)^1,2^2,(-2)^3,…)的-行和。
%C-G(-x)的逆函数是-C[-P(x,-2)]=(-1+sqrt(1+4*x/(1-2*x)))/2,这是A210736的o.G.f.,其中a(0)设为零。(结束)
%C{A146559,A009545}是{cos(x),sin(x)}的差分模拟。(参见Shevelev连接)-VVLADIMIR Shevelev_,2017年6月8日
%H Harvey P.Dale,n表,n=0..1000的a(n)</a>
%H Beata Bajorska-Harapiñska、Barbara Smolen和Roman Wituła,<a href=“https://doi.org/10.1007/s00006-019-0969-9“>关于拟Fibonacci数的四元数等价物,Shorty Quaternaccis,应用Clifford代数进展(2019)第29卷,第54卷。
%H John B.Dobson,<a href=“http://arxiv.org/abs/1610.09361“>Ramus恒等式的矩阵变异,二项系数的空缺和</A>,arXiv预印本arXiv:11610.09361[math.NT],2016。
%H Vladimir Shevelev,<a href=“https://arxiv.org/abs/1706.01454“>n阶双曲函数和三角函数的差分类比生成的组合恒等式,arXiv:1706.01454[math.CO],2017。
%H<a href=“/index/Rec#order_02”>具有常系数的线性重复出现的索引条目,签名(2,-2)。
%当n>1时,F a(0)=1,a(1)=1、a(n)=2*a(n-1)-2*a(n-2)。
%F a(n)=和{k=0..n}A124182(n,k)*(-2)^(n-k)。
%F a(n)=和{k=0..n}A098158(n,k)*(-1)^(n-k).-_Philippe Deléham_,2008年11月14日
%F a(n)=(-1)^n*A009116(n).-_Philippe Deléham,2008年12月1日
%F例如:exp(x)*cos(x).-_Zerinvary Lajos,2009年4月5日
%例如:cos(x)*exp(x)=1+x/(g(0)-x),其中g(k)=4*k+1+x+(x^2)*(4*k+1)/(2*k+1;(连分数)。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基(Sergei N.Gladkovskii),2011年11月26日
%F a(n)=Re((1+i)^n),其中i=sqrt(-1)。-_Stanislav Sykora,2012年6月11日
%F.G.F:1/(1-x/(1+x/(1-2*x)))=1+x/_Michael Somos,2013年1月3日
%F G.F.:G(0)/2,其中G(k)=1+1/(1-x*(k+1)/(x*(k+2)+1/G(k+1)));(连分数)。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基(Sergei N.Gladkovskii),2013年5月25日
%F a(m+k)=a(m)*a(k)-A009545(m)*A009545(k).-_Vladimir Shevelev,2017年6月8日
%F a(n)=2^(n/2)*cos(Pi*n/4)_Peter Luschny_,2021年10月9日
%F a(n)=2^(n/2)*切比雪夫T(n,1/sqrt(2))_G.C.Greubel,2023年4月17日
%F From _ Chai Wah Wu_,2024年2月15日:(开始)
%F a(n)=和{n=0..floor(n/2)}二项式(n,2j)*(-1)^j=A121625(n)/n^n。
%F a(n)=0当且仅当n==2 mod 4。
%F(结束)
%e G.f.=1+x-2*x^3-4*x^5+8*x^7+16*x^8+16*x^9-32*x^11-64*x^12-。。。
%p G(x):=exp(x)*cos(x):f[0]:=G(x_Zerinvary Lajos,2009年4月5日
%p序列(2^(n/2)*cos(Pi*n/4),n=0..44);#_Peter Luschny_,2021年10月9日
%t系数列表[级数[(1-x)/(1-2x+2x^2),{x,0,50}],x](*或*)线性递归[{2,-2},{1,1},50](*_哈维·P·戴尔,2011年10月13日*)
%o(PARI)Vec((1-x)/(1-2*x+2*x^2)+o(x^99))\\查尔斯·格里塔斯四世,2012年1月11日
%o(圣人)
%o定义A146559():
%o x,y=-1,0
%o为True时:
%o产量-x
%o x,y=x-y,x+y
%o a=A146559();【下一个(a)表示i在范围(51)内】#_Peter Luschny_,2013年7月11日
%o(岩浆)I:=[1,1,0];[n le 3选择I[n]else 2*Self(n-1)-2*Self:n in[1..45]];//_文森佐·利班迪(Vincenzo Librandi),2014年11月10日
%o(SageMath)
%o定义A146559(n):返回2^(n/2)*chebyshev_T(n,1/sqrt(2))
%o[A146559(n)代表范围(51)内的n]#_G.C.Greubel_,2023年4月17日
%o(Python)
%o定义A146559(n):返回((1,1,0,-2)[n&3]<<((n>>1)&-2))*(如果n为-1,其他为1)#_Chai Wah Wu_,2024年2月16日
%Y参见A000108、A009116、A009545、A030528、A091867、A098158、A099087。
%Y参见A104597、A124182、A126930、A121625、A146559、A146599、A210736。
%K符号,简单
%0、4
%2008年11月1日,A _Philippe Deléham
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