%I#203 2024年3月24日13:11:37

%S 1,1,2,3,1,6,11,6,1,24,50,35,10,1120274225,85,15,172017641624，

%电话：735175,2115040130681313267691960322,28,14032010958411124，

%电话：67284224494536546,36,136288010265761172700723680269325632739450870,45,1

%N三角形T（N，k），0<=k<=N，按行读取，给出多项式（x+1）（x+2）的系数。。。（x+n），以x的递增幂展开，T（n，k）也是无符号斯特林数|s（n+1，k+1）|，表示正好包含k+1圈的n+1元素上的置换数。

%C这个三角形是第一类斯特林数三角形A008275的无符号版本，是这些数字的主要输入项_N.J.A.Sloane，2011年1月25日

%C或，三角形T（n，k），0<=k<=n，由[1,1,2,2,3,3,4,5,5,6,6，…]DELTA[1,0,1,0,1,1,0,0,1,0,0,1.0，…]给出的行读取，其中DELTA是A084938中定义的运算符。

%C撤销A094638。

%C等于A132393*A007318，作为无限下三角矩阵_菲利普·德雷厄姆，2007年11月13日

%C发件人：Johannes W.Meijer，2009年10月7日：（开始）

%C高阶指数积分E（x，m，n）在A163931中定义。指数积分E（x，m=1，n）~（exp（-x）/x）*（1-n/x+n*（n+1）/x^2-n*（n+1）*（n+2）/x*3+…）的渐近展开式，见阿布拉莫维茨和斯特根。该公式遵循渐近展开的一般公式，见A163932。我们重写了E（x，m=1，n）~（exp（-x）/x）*（1-n/x+（n^2+n）/x^2-（2*n+3*n^2+n^3）/x^3+（6*n+11*n^2+6*n^3+n^4）/x ^3-…）并观察到T（n，m）是分母中的多项式系数。查看A028421、A163932和A163934的a（n，m）公式，并将上面给出的偏移量移动到1，我们可以写出T（n-1，m-1）=a（n、m）=（-1）^（n+m）*Stirling1（n，m），请参阅Maple程序。

%C从1到11的n值的渐近展开导致已知序列，参见交叉参考。通过这些序列，可以形成三角形A008279（右列）和A094587（左列）。

%C有关此三角形右侧立柱的o.g.f.s.的信息，请参见A163936。

%C（结束）

%C置换中i左边大于i的元素的数量给出了反演向量的第i个元素。（Skiena-Pemmaraju 2003，p.69。）T（n，k）是在其反转向量中正好具有k 0的n个置换数。参见下面Mathematica代码中的证据_杰弗里·克里特（Geoffrey Critzer），2010年5月7日

%C T（n，k）计算具有n+2个节点的“自然生长”有根树的森林中具有k+1个树干的有根树。这对应于表示向量、李导数或流场和形式群律的无穷小生成器的迭代导数的系数之和。参见A139605中的链接_汤姆·科普兰，2014年3月23日

%C A精炼为A036039.-_汤姆·科普兰，2014年3月30日

%C来自Tom Copeland，2014年4月5日：（开始）

%初始n=1，T的行多项式为p（n，x）=x（x+1）。。。（x+n-1），x的幂对应于上述“自然生长”森林中有根树的树干数。对于允许m种颜色的每个树干，p（n，m）给出了森林中此类非车道颜色树的数量，每棵树有n+1个顶点。

%Cp（2，m）=m+m^2=A002378（m）=2*A000217（m）=2*（|A238363|的第一个子标记）。

%Cp（3，m）=2m+3m^2+m^3=A007531（m+2）=3*A007290（m+2）=3*（第二分区A238363）。

%Cp（4，m）=6m+11m^2+6m^3+m^4=A052762（m+3）=4*A033487（m）=4*（第三分区）。

%C从Joni等人的链接中，p（n，m）还表示n个可区分标志在m个可区分旗杆上的配置。

%C完全图K_n的色多项式是下降阶乘，它对K_n中n个顶点的着色进行编码，并给出p（n，m）的移位形式。

%行多项式的C E.g.f.：（1-y）^（-x）。

%C（结束）

%C A与不定项C（1）到C（n）中n X n Vandermonde矩阵V（n）的行列式|V（n

%C|V（n）|=产品{1<=j<k<=n}（C（j）-C（k））。设W（n，x）=|V（n）|*（c（1）c（2）。。。c（n））^x，则p（n，x）=W^（-1）[c（1）d/dc（1。见Chervov链接，第47页_汤姆·科普兰，2014年4月10日

%C From _Peter Bala，2014年7月21日：（开始）

%C设M表示下单位三角形数组A094587，对于k=0,1,2，。。。将M（k）定义为下单位三角形块数组

%确认0（_k）\

%C\0百万/

%C具有k X k单位矩阵I_k作为左上块；特别地，M（0）=M。那么现在的三角形等于无限矩阵乘积M（0，M（1）*M（2）*。。。（定义明确）。请参阅示例部分。（结束）

%C关于这一上升阶乘与维诺的拉盖尔故事时刻的关系，请参阅第4页的Hetyei链接_Tom Copeland_ 2015年10月1日

%C也可以看作是n的Bell变换！没有列0（和移位的枚举）。Bell变换的定义见A264428_Peter Luschny_，2016年1月27日

%D Sriram Pemmaraju和Steven Skiena，《计算离散数学》，剑桥大学出版社，2003年，第69-71页。[_Geoffrey Critzer_，2010年5月7日]

%H T.D.Noe，<a href=“/A130534/b130534.txt”>三角形的n=0..50行，扁平</a>

%H M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，<A href=“http://www.convertit.com/Go/convertit/Reference/AMS55.ASP“>《数学函数手册》，国家标准局，应用数学系列55，第十版，1972年，第5章，第227-251页。[摘自Johannes W.Meijer_，2009年10月7日]

%H A.Chervov，<A href=“http://arxiv.org/abs/203.5759“>Capelli恒等式的解复杂化和全纯因子分解</a>，arxiv 1203.5759[math.QA]，2012年3月。[_Tom Copeland_2014年4月10日]

%H FindStat-组合统计查找器，<a href=“http://www.findstat.org/StatisticsDatabase/St000007“>置换的显著数</a>，<a href=”http://www.findstat.org/StatisticsDatabase/St000031“>置换的循环分解中的循环数</a>。

%H Martin Griffiths，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL17/Griffiths/griffiths31.html“>第一类扩展斯特林数的生成函数</a>，整数序列杂志，17（2014），#14.6.4。

%H G.Hetyei，<a href=“http://arxiv.org/abs/0909.4352“>Meixner第二类多项式和表示su（1,1）</a>的量子代数，arXiv预印本arXiv:0909.4352[math.QA]，2009。

%H S.Joni、G.Rota和B.Sagan，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/0012-365X（81）90219-3“>从集合到函数：三个基本示例，离散数学，第37卷，第2-3期，第193-202页，1981年。[_Tom Copeland_2014年4月5日]

%H Matthieu Josuat-Verges，<a href=“https://arxiv.org/abs/1610.02965“>Stirling数上Schläfli和Gould恒等式的q模拟</A>，Preprint，arXiv:1610.02965[math.CO]，2016。

%H Marin Knežević、Vedran Krčadinac和Lucija Relić，<a href=“https://arxiv.org/abs/2012.15307“>二项式系数和无符号斯特林数的矩阵乘积</a>，arXiv:2012.15307[math.CO]，2020。

%H Lucas Sá和Antonio M.García-Garcáa，<a href=“https://arxiv.org/abs/2104.07647“>Wishart-Sachdev-Ye-Kitaev模型：Q-Laguerre谱密度和量子混沌，arXiv:2104.07647[hep-th]，2021。

%H Igor Victorovich Statsenko，<a href=“https://aeterna-ufa.ru/sbornik/IN-2024-02-2.pdf#page=15“>关于广义特殊数三角形的序数。俄语。

%H丹尼斯·沃尔什，<a href=“https://web.archive.org/web/2011208160649/http://frank.mtsu.edu/~dwalsh/STIRLIN1.pdf“>关于无符号斯特灵数的一个简短注释</a>

%F T（0,0）=1，T（n，k）=0，如果k>n或如果n<0，T（n，k）=T（n-1，k-1）+n*T（n-1，k）。T（n，0）=n！=A000142（n）。T（2*n，n）=A129505（n+1）。求和{k=0..n}T（n，k）=（n+1）！=A000142（n+1）。Sum_｛k=0..n｝T（n，k）^2=A047796（n+1）。T（n，k）=|斯特林1（n+1，k+1）|，见A008275。（x+1）（x+2）。。。（x+n）=Sum_{k=0..n}T（n，k）*x^k

%F和{k=0..n}T（n，k）*x^k=A000007分别。-_菲利普·德雷厄姆，2007年11月13日

%F对于k=1..n，设A={A_1，A_2，…，A_k}表示{1,2，…，n}的size-k子集。那么T（n，n-k）=总和（Product_{i=1..k}a_i），其中总和覆盖所有子集a。例如，T（4,1）=50，因为1*2*3+1*2x4+1*3*4+2*3*4=50_Dennis P.Walsh，2011年1月25日

%F前面的公式表示T（n，k）=σ{n-k}（1,2,3，…，n），其中第（n-k）个初等对称函数σ的不定项选择为1,2，。。。，n.参见A094638中2011年10月24日的评论，其中sigma称为a.-Wolfdieter Lang，2013年2月6日

%F From _Gary W.Adamson_，2011年7月8日：（开始）

%三角形的第n行=M^n的顶行，其中M是生产矩阵：

%F 1，1；

%第1、2、1页；

%表格1、3、3、1；

%第1、4、6、4、1页；

%F。。。（结束）

%F指数Riordan数组[1/（1-x），log（1/（1-x））]。递归：T（n+1，k+1）=和{i=0..n-k}（n+1）/（n+1-i）*T（n-i，k）-_Peter Bala，2014年7月21日

%e三角形T（n，k）开始：

%电子邮箱0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

%e n=0：1

%e n=1：1 1

%e n=2：2 3 1

%e n=3:6 11 6 1

%e n=4:24 50 35 10 1

%e n=5:120 274 225 85 15 1

%e n=6:720 1764 1624 735 175 21 1

%e n=7:5040 13068 13132 6769 1960 322 28 1

%电子邮箱=8:40320 109584 118124 67284 22449 4536 546 36 1

%电子邮箱：9:362880 1026576 1172700 723680 269325 63273 9450 870 45 1

%电子邮箱：3628800 10628640 12753576 8409500 3416930 902055 157773 18150 1320 55 1

%e[2013年2月5日由Wolfdieter Lang_重新格式化和扩展]

%e T（3,2）=6，因为有6个{1,2,3,4}的置换，它们的反转向量正好有2个0：{1，2，4，3}，{1，3，2，4}，}，2,1，3。相应的反转矢量是{0，0，1}，{0，1，0}，{0，2，0}，{1，0，0}，{2，0，0}，{3，0，0}_杰弗里·克里特（Geoffrey Critzer），2010年5月7日

%e T（3,1）=11，因为{1,2,3,4}正好有11个置换，正好有2个循环，即（1）（234），（1）_Dennis P.Walsh，2011年1月25日

%e From _Peter Bala，2014年7月21日：（开始）

%e使用注释部分中定义的数组M（k），无穷乘积M（0*）M（1）*M（2）*。。。开始

%电子/1\

%e |1 1||0 1||0 1 ||1 1|

%e | 2 2 1 | | 0 1 1 | | 0 1 |…=|2 3 1 |

%e |6 6 3 1 |0 2 2 1 |0 0 1 1 ||6 11 6 1|

%e | 24 24 12 4 1 | 0 6 6 3 1 | 0 0 2 2 1 | | 24 50 35 10 1|

%e|…||…|||……|||

%e（结束）

%p与（组合）：A130534：=进程（n，m）：（-1）^（n+m）*stirling1（n+1，m+1）结束进程：seq（seq（A130534（n，m），m=0..n），n=0..10）；#_Johannes W.Meijer，2009年10月7日，2012年9月11日修订

%p#函数BellMatrix在A264428中定义。

%p#将（1,0,0,0，..）添加为列0（并移动枚举）。

%p BellMatrix（n->n！，9）；#_Peter Luschny_，2016年1月27日

%t表[Table[Length[Select[Map[ToInversionVector，Permutations[m]]，Count[#，0]==n&]]，{n，0，m-1}]，{m，0，8}]//网格（*_Geoffrey Criter_，2010年5月7日*）

%t行=10；

%t t=范围[0，行]！；

%t t[n_，k_]：=腹部[n，k，t]；

%t表[t[n，k]，{n，1，rows}，{k，1，n}]//Flatten（*Jean-François Alcover_，2018年6月22日，在_Peter Luschny_*之后）

%o（哈斯克尔）

%o a130534 n k=a130534_tabl！！不！！k个

%o a130534_row n=a130534-tabl！！n个

%o a130534_tabl=地图（地图abs）a008275_tabl

%o--_Reinhard Zumkeller，2013年3月18日

%Y参见A008275，这是这些数字的主要条目；A094638（反向行）。

%Y对角线：A000012 A000217 A000914 A001303 A000915 A053567 A112002 A191685。列A000142 A000254 A0000399 A0000454 A000482 A001233 A001234。

%Y From _Johannes W.Meijer，2009年10月7日：（开始）

%Y行总和等于A000142。

%Y渐近展开导致A000142（n=1）、A000142，（n=2；减去a（0））、A001710（n=3）、C001715（n=4）、A001120（n=5）、A00725（n=6）、A0010730（n=7）、A049388（n=8）、A049 389（n=9）、A0149398（n=10）、A051431（n=11）、A008279和A094587。

%Y参考A163931（E（x，m，n））、A028421（m=2）、A163932（m=3）、Al63934（m=4）和A163936。

%Y（结束）

%Y参考A136662。

%K nonn，表

%O 0.4

%A _Philippe Deléham_，2007年8月9日