%I#78 2022年10月13日02:51:39

%S 1,4，15,572168193105117724463116920964152024321879221121，

%电话：349599241325431355025091771905156936722998339273465825，

%电话：10382239249239362057495114923289023295657848431840214505320507

%N a（N）＝3a（N-1）+3a（N-2）。a（0）=1，a（1）=4。

%字母表{a，b，C，d}中长度为n的aa无效单词的数量。

%C等于A180165中所示数组的第3行、A028859的INVERT变换和A086347的INVERTi变换_Gary W.Adamson_，2010年8月14日

%C来自Tom Copeland，2014年11月8日：（开始）

%C此数组是一个由C（x）=[1-sqrt（1-4x）]/2组成的系列之一，A000108的o.g.f；其逆Cinv（x）=x（1-x）；以及特殊的Mobius变换P（x，t）=x/（1+t*x），x中的逆P（x、-t）参见A091867。

%重心：g（x）=P[P[-Cinv（-x），-1]，-1]=P[-Cinv（-x，-3]=x*（1+x）/[1-3x（1-x）]=x*A125145（x）。

%C Ginv（x）=-C[-P（x，3）]=[-1+平方（1+4x/（1+3x））]/2=x*A104455（-x）。

%重心（-x）=-x（1-x）*[1-3*[x*（1+x）]+3^2*[xx（1+x）]^2-…]，所以这个数组与A030528*Diag（（-3）^1,3^2，（-3）*3，..）行和的有限差有关。（参见A146559。）

%C-G（-x）的逆运算是C[-P（-x，3）]=[1-sqrt（1-4x/（1-3x））]/2=x*A104455（x）。（结束）

%C n+1的3个成分的数量限制为第1部分和第2部分（以及允许的零）；参见霍普金斯和奥夫里参考_Brian Hopkins，2020年8月16日

%H Reinhard Zumkeller，n的表，n=0..1000的a（n）</a>

%H Joerg Arndt，<a href=“http://www.jjj.de/fxt/#fxtbook网站“>重要的计算（Fxtbook）</a>

%H D.Birmajer、J.B.Gil和M.D.Weiner，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL19/Gil/gil6.html“>关于有限字母限制词的枚举，J.Int.Seq.19（2016）#16.1.3，示例7。

%H Martin Burtscher、Igor Szczyrba和RafałSzczzyrba，<a href=“http://www.emis.de/journals/JIS/VOL18/Szczyrba/sz3.html“>n-anacci常数的分析表示及其推广，整数序列杂志，第18卷（2015年），第15.4.5条。

%H Brian Hopkins和Stéphane Ouvry，<a href=“https://arxiv.org/abs/2008.04937“>《多元组合数学》，arXiv:2008.04937[math.CO]，2020。

%H米兰Janjic，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL18/Janjic/janjic63.html“>关于由正整数组成的线性递归方程</a>，《整数序列杂志》，第18卷（2015年），第15.4.7条。

%H Tanya Khovanova，<a href=“http://www.tanyakhovanova.com/RecursiveSequences/RecursiveSequences.html“>递归序列</a>

%H<a href=“/index/Rec#order_02”>常系数线性重复出现的索引条目，签名（3,3）。

%光纤：（1+z）/（1-3z-3z^2）.-_Emeric Deutsch_，2007年2月27日

%F a（n）=（5*sqrt（21）/42+1/2）*（3/2+sqrt_安东尼奥·阿尔贝托·奥利瓦雷斯（Antonio Alberto Olivares），2008年3月20日

%F a（n）=A030195（n）+A030195（n+1）。-_R.J.Mathar，2022年2月13日

%例如：exp（3*x/2）*（21*cosh（sqrt（21）*x/2）+5*sqrt（21）*sinh（sqrt（21）*x/2））/21.-_Stefano Spezia，2022年8月4日

%p a[0]：=1:a[1]：=4：对于从2到27的n，执行a[n]：=3*a[n-1]+3*a[2]od:seq（a[n]，n=0..27）；#_Emeric Deutsch，2007年2月27日

%p A125145:=程序（n）

%p选项记忆；

%p如果n<=1，则

%p op（n+1，[1,4]）；

%p其他

%p3*（进程名（n-1）+进程名（n-2））；

%p end if；

%p结束程序：#_R.J.Mathar_，2022年2月13日

%t nn=23；系数列表[系列[（1+x）/（1-3x-3x^2），{x，0，nn}]，x]（*_Geoffrey Criter_，2014年2月9日*）

%t线性递归[{3,3}，{1,4}，30]（*哈维·P·戴尔，2022年5月1日*）

%o（哈斯克尔）

%o a125145 n=a125145_列表！！n个

%o a125145_列表=

%o 1:4:map（*3）（zipWith（+）a125145_list（尾部a125145_列表））

%o--_Reinhard Zumkeller，2011年10月15日

%o（岩浆）I:=[1,4]；[n le 2选择I[n]else 3*Self（n-1）+3*Self:n in[1..40]]；//_文森佐·利班迪（Vincenzo Librandi），2014年11月10日

%Y参考A028859=a（n+2）=2a（n+1）+2a（n）；A086347=在3 X 3棋盘上，棋王在给定边格结束的n步路线数。a（n）=4a（n-1）+4a（n-2）。

%Y参考A128235。

%Y参考A180165、A028859、A086347-_Gary W.Adamson_，2010年8月14日

%Y参见A002605、A026150、A030195、A080040、A083337、A106435、A108898。

%Y参见A000108、A091867、A125145、A104455、A030528、A146559。

%K nonn，简单

%O 0,2

%2007年1月11日，A _Tanya Khovanova