%I#116 2024年9月13日03:30:55

%S 1,0,1,1,0,1,0,3,0,1,10,6,0,10,5,0,0,11,0,15,0,15,10,0,7,0,35，

%T 0,21,0,1,1,0,28,0,70,0,28，0,1,0,1,9,0,84,0126,0,36,0,11,0,45,0210,0，

%U 210,0,45,0,1,0,11,0165,0462,0330,055,0,1,1,0,66,0495,0924

%N一个带遮罩的帕斯卡三角形。

%C行总和为A011782。对角线和为F（n+1）*（1+（-1）^n）/2（A001519的充气版本）。帕斯卡三角形A007318的乘积是A119468。（1/（1-x），x/（1-x。

%C指数Riordan数组（cosh（x），x）。反向为（sech（x），x）或A119879_保罗·巴里（Paul Barry），2006年5月26日

%C行给出多项式p_n（x）=和{k=0..n}（k+1模2）*二项式（n，k）*x^（n-k）的系数，例如f.exp（x*t）*cosh（t）=1*（t^0/0！）+x*（t*1/1！）+（1+x^2）*（t*2/2！）+…-_Peter Luschny_，2009年7月14日

%C瑞士刀多项式系数矩阵的逆x ^i升序（A153641的反向和充气行）_Peter Luschny_，2012年7月16日

%C调用此数组M，对于k=0,1,2，。。。将M（k）定义为下单位三角形块数组

%C/I_k 0（C/I_k 0）\

%具有k X k单位矩阵I_k作为左上块的C\0 M/；特别地，M（0）=M。无限矩阵乘积M（0，M（1）*M（2）*。。。等于A136630，但省略了第一行和第一列_Peter Bala，2014年7月28日

%C行多项式SKv（n，x）=[（x+1）^n+（x-1）^n]/2，例如f.cosh（t）*exp（xt），是A119879行多项式（基本上是A153641的瑞士刀多项式SK（n，x））的本影成分倒数；即，本影SKv（n，SK（.，x））=x^n=SK（n，SKv（.，x））。因此，该条目的矩阵和A119879是一对反矩阵。这两个多项式序列都是Appell序列，即d/dx P（n，x）=n*P（n-1，x）和（P（.，x）+y）^n=P（n、x+y）。特别是，（SKv（.，0）+x）^n=SKv（n，x），这表明第一列具有e.g.f.cosh（t）。提升算子为R=x+tanh（d/dx）；即，R SKv（n，x）=SKv（n+1，x）。该算子的系数基本上是有符号和充气扎格数A000182，可以表示为归一化伯努利数。三角形是由下三角Pascal矩阵的第n对角线乘以cosh（x）的Taylor级数系数a（n）形成的。A133314的形式给出了这类三角形及其逆三角形的更多关系_Tom Copeland_ 2015年9月5日

%此矩阵的有符号版本具有例如f.cos（t）e^{xt}，生成的Appell多项式只有实数简单的零，其极值在x轴上方为最大值，在下一个低次多项式的零上方和下方为最小值。双变量版本出现在Dimitrov和Rusev的第27页，其条件是整个函数是一类函数的余弦变换，只有实数零_汤姆·科普兰，2020年5月21日

%C当k接近随机矩阵P^（2k-1）的无穷大时，三角形的第n行乘以极限第一行的元素2^（n-1）得到，其中P是与n个球的Ehrenfest模型相关联的随机矩阵。随机矩阵P的元素给出了在给定前一状态i的情况下到达状态j的概率。特别是，矩阵每一行的和必须是1，因此该三角形第n行的项之和是2^（n-1）。此外，根据马尔可夫链的性质，我们可以将P^_Luca Onnis，2023年10月29日

%D Paul和Tatjana Ehrenfest，U ber zwei bekannte Einwände gegen das Boltzmannsche H定理，Physikalische Zeitschrift，第8卷（1907年），第311-314页。

%H Reinhard Zumkeller，表的n=0..125行，扁平</a>

%H Paul Barry，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL14/Barry1/barry97r2.html“>Riordan Arrays，Orthogonal Polynomials as Moments，and Hankel Transforms，J.Int.Seq.14（2011）#11.2.2，示例28。

%H Paul Barry，<a href=“https://arxiv.org/abs/2101.06713“>关于Riordan数组的反演，arXiv:2101.06713[math.CO]，2021。

%H汤姆·科普兰，<a href=“https://tcjpn.wordpress.com/2020/07/11/skiping-over-dimensions杂耍-zeros-in-the-matrix/“>跳过维度，在矩阵中拼凑零值</a>，2020年。

%H D.Dimitrov和P.Rusev，<a href=“https://www.dcce.ibilce.unesp.br/~dimitrov/ProfRusev/EJA_Paper_24_02_11/Dim_Rus_main.pdf“>整个傅里叶变换的零点。

%H Miguel Méndez和Rafael Sánchez，<a href=“https://arxiv.org/abs/1707.00336“>关于Riordan数组和Sheffer多项式的组合：幺半群、运算数和单元数，arXiv:1707.00336[math.CO]，2017，第4.3节，示例4。

%H Miguel A.Méndez和Rafael Sánchez Lamoneda，<A href=“http://www.combinatics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/v25i3p25“>Monops，Monoids and Operads:Sheffer多项式的组合学</a>，《组合学电子期刊》25（3）（2018），#P3.25。

%H Luca Onnis，《Ehrenfest模型的动画》。

%H维基百科，<a href=“https://en.wikipedia.org/wiki/Ehrenfest模型“>Ehrenfest模型。

%H<a href=“/index/Pas#Pascal”>与Pascal三角形相关的三角形和数组的索引项</a>

%F G.F.：（1-x*y）/（1-2*x*y-x^2+x^2*y^2）；

%F T（n，k）=C（n，k）*（1+（-1）^（n-k））/2；

%F列k具有g.F.（1/（1-x^2））*（x/（1-x^2））^k*Sum_{j=0..k+1}二项式（k+1，j）*sin（（j+1）*Pi/2）^2*x^j。

%F列k具有例如F.cosh（x）*x^k/k！.-_保罗·巴里（Paul Barry），2006年5月26日

%F设帕斯卡三角形，A007318=P；那么这个三角形=（1/2）*（P+1/P）。此外，A131047=（1/2）*（P-1/P）。-_Gary W.Adamson_，2007年6月12日

%F等于A007318-A131047，因为三角形的零是A131047项的掩码。因此，A119467+A131047=帕斯卡三角形_Gary W.Adamson_，2007年6月12日

%F T（n，k）=（A007318（n，k）+A130595（n，克））/2，0<=k<=n.-Reinhard Zumkeller_，2014年3月23日

%e三角形开始

%e 1，

%e 0，1，

%e 1、0、1、，

%e 0、3、0、1、，

%e 1、0、6、0、1、，

%e 0、5、0、10、0、1、，

%e 1，0，15，0，15,0，1，

%e 0、7、0、35、0、21、0、1、，

%e 1、0、28、0、70、0、280、0、1、，

%e 0、9、0、84、0、126、0、36、0、1、，

%e 1，0，45，0，210，0，210，0，45，0，1

%e p[0]（x）=1

%e p[1]（x）=x

%ep[2]（x）=1+x^2

%ep[3]（x）=3*x+x^3

%ep[4]（x）=1+6*x^2+x^4

%e p[5]（x）=5*x+10*x^3+x^5

%e与A136630的连接：使用“注释”部分中定义的数组M（k），无穷乘积M（0）*M（1）*M（2）*。。。开始

%电子/1\

%e |0 1||0 1||0 1||0 1 ||0 1|

%e|1 0 1||0 0 1||0 0 1|…=|1 0 1 |

%e |0 3 0 1 | |0 1 0 1 | |0 0 0 1 | | 0 4 0 1|

%e |1 0 6 0 1 ||0 0 3 0 1 ||0 0 1 0 1 ||1 0 10 0 1|

%e|…||…|||……|||

%e-佩特·巴拉，2014年7月28日

%p#多项式：p_n（x）

%p p：=进程（n，x）局部k，pow；pow:=（n，k）->`如果'（n=0和k=0,1，n^k）；

%p加法（（k+1模2）*二项式（n，k）*pow（x，n-k），k=0..n）结束；

%p#系数：a（n）

%p seq（打印（seq（系数（i！*）*系数（系列（exp（x*t）*系数，t，16），t，i），x，n），n=0..i）），i=0..8）；#_Peter Luschny_，2009年7月14日

%t表[二项式[n，k]（1+（-1）^（n-k））/2，{n，0，12}，{k，0，n}]//压扁（*_Michael De Vlieger_，2015年9月6日*）

%t n=15；“第n行”

%t mat=表[表[0，{j，1，n+1}]，{i，1，n+1}]；

%t材料[[1,2]]=1；

%t材料[[n+1，n]]=1；

%t对于[i=2，i<=n，i++，mat[[i，i-1]=（i-1）/n]；

%t对于[i=2，i<=n，i++，mat[[i，i+1]]=（n-i+1）/n]；

%t材料//矩阵形式；

%t P2=点[mat，mat]；

%t R1=简化[

%t特征向量[Transpose[P2]][[1]/

%t总[Eigenvectors[Transpose[P2]][[1]]]

%t R2=表格[Dot[R1，Transpose[mat][[k]]]，{k，1，n+1}]

%t奇数=R2*2^（n-1）（*_Luca Onnis_*）

%o（鼠尾草）

%o缓存函数

%o定义A119467_poly（n）：

%o R=多项式环（ZZ，'x'）

%o x=R.发电机（）

%o如果n==0，则返回R.one（），否则返回R.sum（二项式（n，k）*x^（n-k），k在范围（0，n+1,2）内）

%o定义A119467_低（n）：

%o退货清单（A119467_poly（n））

%o代表n in（0..10）：打印（A119467_row（n））#_Peter Luschny_，2012年7月16日

%o（哈斯克尔）

%o a19467 n k=a19467_tabl！！不！！k个

%o a19467_row n=a19467_tabl！！n个

%o a11967_tabl=地图（地图（翻转div 2））$

%o zipWith（zipWith+）a007318_tabl a130595_tabl

%o——_Reinhard Zumkeller_，2014年3月23日

%o（岩浆）/*作为三角形*/[[二项式（n，k）*（1+（-1）^（n-k））/2:k in[0..n]]：n in[0..15]]；//_文森佐·利班迪（Vincenzo Librandi），2015年9月26日

%Y参考A131047、A153641、A162590。

%Y From _Peter Luschny_，2009年7月14日：（开始）

%Y参考A034839，A162590。

%Y p[n]（k），n=0,1，。。。

%Y k=0:1，0，1，0，1，0。。。A128174号

%Y k=1:1、1、2、4、8、16。。。A011782号

%Y k=2:1、2、5、14、41、122。。。A007051号

%Y k=3:1、3、10、36、136。。。A007582号

%Y k=4:1、4、17、76、353。。。A081186号

%Y k=5:1、5、26、140、776。。。A081187号

%Y k=6:1、6、37、234、1513。。。A081188号

%Y k=7:1、7、50、364、2696。。。A081189号

%Y k=8:1、8、65、536、4481。。。A081190号

%Y k=9:1、9、82、756、7048。。。A060531号

%Y k=10:1、10、101、1030。。。A081192号

%Y p[n]（k），k=0,1，。。。

%Y p[0]：1,1,1,1,1,1,1。。。。。。。A000012号

%Y p[1]：0，1，2，3，4，5。。。。。。。A001477号

%Y p[2]：1,2,5,10,17,26。。。。A002522号

%Y p[3]：0,4,14,36,76140。。A079908（结束）

%Y参考A000182、A133314、A153641。

%K简单，不，小桌，看，改变了

%0、8

%A Paul Barry，2006年5月21日

%E编辑：N.J.A.Sloane，2009年7月14日