%I#6 2017年6月13日22:36:32

%S 1,1,3,3,1,18,18,9,1216216135,27,15589558940501134,81,1，

%电话：3365553365553659730952569963243，1497681014976810142724503，

%电话：1792683924508988938729、118707873562168358956038074043145

%N三角形P，按行读取，对于N>=k>=0满足[P^3]（N，k）=P（N+1，k+1），对于所有m也满足[P^（3*m）]（N、k）=[P^m]（N+1、k+1）。其中[P^m][N，k]表示P的矩阵幂m的第N行、第k列的元素，其中P（k，k）=1，对于k>=0，满足P（k+1，k）=P（k+1,0）。

%C当n>0时，列0和列1相等。

%F设q=3；P^m的k列的g.f.（忽略前导零）等于：1+Sum{n>=1}（m*q^k）^n/n！*乘积{j=0..n-1}L（q^j*x），其中L（x）满足：x=-Sum_{n>=1}乘积{j=0...n-1}-L（q^j*x）/（j+1）；L（x）等于P（A111844）矩阵对数第0列的g.f。

%e设q=3；矩阵幂P^m的k列的g.f.为：

%e 1+（m*q^k）*L（x）+（m*q^k，^2/2*L（x）*L（q*x）+

%e（m*q^k）^3/3*长（x）*长（q*x）*L（q^2*x）+

%e（m*q^k）^4/4*L（x）*L（q*x）*L（q^2*x）*L（q^3*x）+。。。

%e其中L（x）满足：

%e x=L（x）-L（x）*L（q*x）/2！+L（x）*L（q*x）*L（q^2*x）/3！-+。。。

%e和L（x）=x+3/2*x^2+27/3*x^3+486/4*x^4+。。。（A111844）。

%e因此，矩阵幂P^m第0列的g.f.为：

%e 1+m*L（x）+m^2/2*L（x）*L（3*x）+m^3/3*长（x）*长（3*x）*高（3^2*x）+

%e m^4/4*长（x）*长（3*x）*高（3^2*x）*L（3^3**）+。。。

%e三角形P开始：

%e 1；

%e 1,1；

%e 3、3、1；

%e 18,18,9,1；

%e 216216135,27,1；

%e 5589558940501134,81,1；

%电子邮箱：3365553365556269730952569963243.1。。。

%e其中P^3将列向左上移动一个位置：

%e 1；

%e 3、1；

%e 18,9,1；

%e 216135,27,1；

%e 558940501134,81,1。。。

%o（PARI）P（n，k，q=3）=局部（A=Mat（1），B）；如果（n<k | | k<0,0，对于（m=1，n+1，B=矩阵（m，m））；对于（i=1，m，对于（j=1，i，如果（j==i，B[i，j]=1，如果（j==1，B[i，j]=（A^q）[i-1,1]，B[i，j]=（A ^q）[i-1，j-1]））；）；A=B）；返回（A[n+1，k+1））

%Y参见A111841（第0列）、A111842（行总和）、A1111843（矩阵日志）、A078122（变量）。

%K nonn，表

%O 0.4

%A _保罗·D·汉纳，2005年8月22日