A104203-OEIS公司

A104203号

正弦柠檬酸函数sl（x）的展开。

1, 0, 0, 0, -12, 0, 0, 0, 3024, 0, 0, 0, -4390848, 0, 0, 0, 21224560896, 0, 0, 0, -257991277243392, 0, 0, 0, 6628234834692624384, 0, 0, 0, -319729080846260095008768, 0, 0, 0, 26571747463798134334265819136, 0, 0, 0, -3564202847752289659513902717468672, 0, 0

(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

1,5

有关余弦柠檬酸盐cl（x）的级数展开，请参见A159600个lemniscatic函数sl（x）和cl（x）在18世纪和19世纪的数学发展中发挥了重要作用。它们是椭圆函数的第一个例子。在代数数论中，高斯有理数Q（i）的所有阿贝尔扩张都包含在由lemniscatic函数的除法值生成的Q（i）扩张中-彼得·巴拉2011年8月25日

链接

文森佐·利班迪，n=1时的n，a（n）表。.229

S.Binski和T.R.Hagedorn，Lemnicate上的构造

Zachary P.Bradshaw和Christophe Vignat，Berndt型积分：揭示与Barnes Zeta和Jacobi椭圆函数的联系，arXiv:2407.02365[math.CA]，2024。见第9页。

Diego Dominici，嵌套导数：计算反函数级数展开式的简单方法，arXiv:math/0501052v2[math.CA]，2005年。

A.Gritsans和F.Sadyrbaev，lemniscatic函数的三角

A.Gritsans和F.Sadyrbaev，Emden-Fowler微分方程理论中的Lemniscatic函数

马库斯·库巴和阿洛伊斯·潘霍尔泽，多标记增长树的组合族和钩长公式，arXiv:1411.4587[math.CO]，2014年。

埃里克·维格伦和安德烈亚斯·迪克曼，无限多平行线电荷电场格子和的简单解《对称》（2020）第12卷，第6期，1040。

Eric W.Weisstein，柠檬酸盐函数

配方奶粉

发件人彼得·巴拉，2011年8月25日：（开始）

函数sl（x）满足微分方程sl''（x）=-2*sl^3（x），初始条件sl（0）=0，sl'（0）=1。

重复关系：

a（n+2）=-2*和{i+j+k=n}n/（i！*j！*k！）*a（i）*a（j）*1（k）。

正弦柠檬酸函数的逆函数可以定义为代数积分

sl^（-1）（x）：=积分{s=0..x}1/sqrt（1-s^4）ds=x+x^5/10+x^9/24+5*x^13/208+。。。。

序列反转产生扩展

sl（x）=x-12*x^5/5！+3024*x^9/9！-4390848*x^13/13！+。。。。

该展开中的系数可以使用嵌套导数计算如下（见[Dominci，定理4.1]）：设f（x）=sqrt（1-x^4）。通过递归定义嵌套导数D^n[f]（x）

D^0[f]（x）=1和D^（n+1）[f]。

D^n[f]（x）以f（x）的幂展开的系数如下所示A145271号然后我们得到a（n）=D^（n-1）[f]（0）。

a（n）可被12^n整除，a（nA144853号（n） ●●●●。

（结束）

函数sl（x）满足微分方程sl'（x）^2+sl（x）^4=1，初始条件为sl（0）=0，sl'（0）=1-迈克尔·索莫斯2019年10月12日

例子

G.f.=x-12*x^5+3024*x^9-4390848*x^13+2124560896*x^17+。。。

递归关系a（n+2）=-2*和{i+j+k=n}n！的示例/n=13时的（i！*j！*k！）*a（i）*a

只有6个13-2=11的组成对总和有非零贡献，即11=9+1+1=1+9+1=1+1+9和11=5+5+1=5+1+5=1+5+5+5

因此

a（13）=-2*（3*11！/（9！*1！*1*）*a（9）*a（1）*1（1）+3*11/（5！*5！*1！）*（5）*a（5）*a（1））=-4390848。

数学

放下[Range[0,37]！系数表[Inverse Series[Series[Integrate[1/（1-x^4）^（1/2），x]，{x，0，37}]]，x](*罗伯特·威尔逊v2005年3月16日*）

a[n_]：=如果[n<0，0，n！级数系数[JacobiSD[x，1/2]2^（（n-1）/2），{x，0，n}]]；(*迈克尔·索莫斯2017年1月17日*）

a[n_]：=如果[n<0，0，n！级数系数[JacobiSN[x，-1]，{x，0，n}]]；(*迈克尔·索莫斯2021年5月26日*）

黄体脂酮素

（PARI）x='x+O（'x^66）；Vec（serlaplace（serreverse（intformal（1/sqrt（1-x^4））））\\约尔格·阿恩特2017年3月24日

交叉参考

囊性纤维变性。A144849号,A144853号,A159600个（余弦柠檬酸）。

每四学期一次A283831号.

囊性纤维变性。A242240型.

上下文中的序列：A271517型 A200512型 A280832型*A242240型 A225341号 A369349型

相邻序列：A104200号 A104201号 A104202号*A104204号 A104205号 A104206号

关键词

签名

作者

特洛伊·凯斯勒（tkessler 1977（AT）netzero.com），2005年3月13日

扩展

更多术语来自罗伯特·威尔逊v2005年3月16日

a（37）-a（39）由文森佐·利班迪2017年3月24日

状态

经核准的