A103292-OEIS公司

A103292号

数字k，使sigma（2^k-1）>=2（2^k-1），即数字2^k-1是完全的或丰富的。

三

12, 24, 36, 40, 48, 60, 72, 80, 84, 90, 96, 108, 120, 132, 140, 144, 156, 160, 168, 180, 192, 200, 204, 210, 216, 220, 228, 240, 252, 264, 270, 276, 280, 288, 300, 312, 320, 324, 330, 336, 348, 360, 372, 384, 396, 400, 408, 420, 432, 440, 444, 450, 456, 468, 480, 492, 504

(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

1,1

2^k-1所在的数字kA023196号.

有什么奇怪的条款吗？这是A103291号数字1是唯一不同的术语吗？如果除了1之外，没有形式2^n-1的最小亏数，情况就是这样。

对于序列中的每个n，2n也在序列中：西格玛[2^（2n）-1]=西格玛[（2^n+1）（2^n-1）]>=（2^n+1）*西格玛（2^n-1），因为对于每个除数d|2^n-1，（至少）有除数（2^n+1）d|[（2^n+1）（2^n-1）]。插入sigma（2^n-1）>=2（2^n-1）得到（2^n+1）*sigma-R.J.马塔尔2007年8月7日

发件人大卫·沃瑟曼，2008年5月16日：（开始）

存在奇数个成员。其中一个是第一批4416726名成员的lcmA139686号，其中有6864499位数字。为了证明n是一个成员，不需要精确计算sigma（2^n-1）。

函数f（x）=sigma（x）/x是乘法的，并且对于任何a，b>1，f（ab）>f（a）都具有乘法性质。所以找到一些y就足够了，这样f（y）>=2，y除以2^n-1。在本例中，y是A014663号有35260810位数字。(A014663号(4416726) = 278379727.)

要了解这一点，请注意如果a除以b，那么2^a-1除以2^b-1。对于1<=i<=4416726，A014663号（i）除以2^A139686号（i）定义为-1，以及A139686号（i）除n，so 2^A139686号（i） -1除以2^n-1，因此A014663号（i）除以2^n-1。然后我们可以计算f（y）=Product_{i=1..4416726}（1+1/A014663美元（i））>2。

的成员A014663号是唯一可以用奇数n除2^n-1的素数。这些素数的任何幂也是可能的除数。

通过包括幂，我们可以构造一个更小的y。我发现y有7057382个数字，ω（y）=969004，bigomega（y）=969440。这个y接近于可能的最小值。y除以2^n-1的最小n是一个1472897位的奇数。

然而，最小化y并不是最小化n的方法。我们可以通过跳过素数p得到更小的n，这样2模p的阶就可以被一个大素数整除。这增加了使f（y）>=2所需素因子的数量和大小，以及找到它们所需的时间。

我找到的最小奇数n有28375个数字。相应的y有305621222位数字，ω（y）=31903142，bigomega（y）=32796897。为了找到这些主要因素，我搜索了A014663号(96433108) = 7154804519.

我相信最小的奇数成员有10000到20000个数字，但我能证明的最大下界有8个数字：f（p^I）的上界是1+1/（p-1）和Product_{I=1..c}（1+1/(A014663号（i） -1））<2如果c<968858，那么y必须至少是Product_{i=1..968858}A014663号（i），共有7054790位数字。

那么n必须足够大，以至于2^n-1>=y，得出23435503的下限。我看不出有什么办法可以显著增加这一点。（结束）

链接

阿米拉姆·埃尔达尔，n=1..135时的n，a（n）表

黄体脂酮素

（PARI）对于（i=11000，n=2^i-1；如果（σ（n）>=2*n，打印（i））；

交叉参考

囊性纤维变性。A103288号,A103289号,A103291号,A023196号.

囊性纤维变性。A014663美元,A139686号.

上下文中的序列：A102308号 A354583型 A103291号*A359565型 A335147型 A355455型

相邻序列：A103289号 A103290号 A103291号*A103293号 A103294号 A103295号

关键词

非n

作者

马克斯·阿列克塞耶夫2005年1月28日

扩展

由扩展到a（32）R.J.马塔尔2007年8月7日

a（33）以后的术语大卫·沃瑟曼2008年5月16日

状态

经核准的