%I#84 2023年1月30日08:48:46

%S 0,1,1,2,4,9,21,51127335218857981551141835113634310572，

%电话：853467235677965363821819928450852019142547559400763223，

%电话：11297604153192727797904340250125669818476730077728022020232782095937427848291697385471211485976167639113933569346707

%N（1+x-sqrt（1-2*x-3*x^2））/2的x次幂展开。

%C Motzkin编号的变体：主条目见A001006。

%C等于以“1”开头的三角形A144218的行和_Gary W.Adamson_，2008年9月14日

%C起始（1，1，1…）=A014137的二项式逆变换：（1，2，4，9，23，65…）_Gary W.Adamson，2009年4月2日

%C当a（0）=1时，这是加泰罗尼亚序列A000108的Riordan矩阵R（n，m）=（-1）^（n-m）*A097805。参见2017年2月17日对A097805的评论，了解Riordan变换，以及下文给出的加泰罗尼亚语g.f.-_Wolfdieter Lang_的g.f

%H Joerg Arndt，n的表，n=0..200时的a（n）</a>

%H Paul Barry，<a href=“https://arxiv.org/abs/1807.05794“>Riordan伪卷积，连分式和Somos 4序列，arXiv:1807.05794[math.CO]，2018。

%H Alexander Burstein和Louis W.Shapiro，<a href=“https://arxiv.org/abs/2112.11595“>Riordan群中的伪进化</a>，arXiv:2112.11595[math.CO]，2021。

%H Gi-Sang Cheon、Marshall M.Cohen和Nikolaos Pantelidis，<a href=“https://doi.org/10.1016/j.laa.2022.02.023“>Riordan矩阵的分解和特征向量，线性代数及其应用，第642卷（2022年），第118-138页。

%H T.Feil、K.Hutson和R.M.Kretchmar，<a href=“http://personal.denison.edu/~kretchmar/pubs/TreeTraversals.pdf“>Tree Traversals and Permutations，Congr.Numer.（2005），省略了前导的0，最后一个数字（303应该是323）是第6章的最后一句话。

%F g.F.A（x）的级数反转为-A（-x）。

%F a（n）+a（n-1）=a（0）*a（na（n）*a（0），n＞2。

%F G.F.A（x）满足0=F（x，A（x。

%F G.F.A（x）满足0=F（x，A（x）），其中F（x，y）=（y^2-y^3）-（x^2+x^3）。

%固定资产：（1+x-sqrt（1-2*x-3*x^2））/2。

%F G.F.A.（x）满足A（x）=x+C（x*A（x”）），其中C（x）是加泰罗尼亚数字A000108的G.F.（偏移量1）。

%F G.F.：（1+x-sqrt（1-2*x-3*x^2））/2=（x+x/G（0））/2其中G（k）=1-2*x/（1+x/（1+x/（1-2*x/（1-x/（2-x/G（k+1））））））；（续分数）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2011年12月11日

%F G.F.:x+x^2*Q（0），其中Q（k）=1+x/（1-x-x/（x+1/Q（k+1）））；（续分数）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2013年4月25日

%F G.F.:x*Q（0），其中Q（k）=1+（4*k+1）*x/（（1+x）*（k+1）-x*（1+x）*（2*k+2）*（4*k+3）/；（续分数）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2013年5月14日

%如果n>0_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2014年1月25日

%F a（n）~3^（n-1/2）/（2*sqrt（Pi）*n^（3/2））_瓦茨拉夫·科特索维奇，2014年4月20日

%F a（n）=和{k=1..n}二项式（2*k-2，k-1）*（-1）^（n-k）*二项式

%F G.F.如果a（0）=1:C（x/（1+x）），C为A000108（加泰罗尼亚语）的G.F。见上述隐式公式_Wolfdieter Lang，2017年2月17日

%带递归的F D-有限：（3*n-3）*a（n）+（1+2*n）*a_罗伯特·伊斯雷尔，2018年5月1日

%F a（n）=A007971（n）/2，n>=2.-_R.J.Mathar，2020年1月20日

%e G.f.=x+x ^2+x ^3+2*x ^4+4*x ^5+9*x ^6+21*x ^7+51*x ^8+127*x ^9+。。。

%p with（PolynomialTools）：系数列表（convert（taylor（（1+x-sqrt（1-2*x-3*x^2）））/2，x=0，33），polynom），x）；#_Taras Goy_，2017年8月7日

%t a[n_]：=级数系数[（1+x-Sqrt[1-2x-3x^2]）/2，{x，0，n}]（*迈克尔·索莫斯，2014年1月25日*）

%t a=DifferenceRoot[函数[{y，n}，{（3n-3）*y[n]+（2n+1）*y[1]+（-n-2）*y[2]==0，y[0]==0，y[1]==1，y[2]==1}]]；

%t表[a[n]，{n，0，40}]（*Jean-François Alcover_，2021年10月28日*）

%o（PARI）{a（n）=波尔科夫（（1+x-sqrt（1-2*x-3*x^2+x*o（x^n）））/2，n）}

%o（PARI）x='x+o（'x^99）；concat（0，Vec（（1+x-（1-2*x-3*x^2）^（1/2）））\\_Altug Alkan_，2018年5月1日

%o（最大值）a（n）：=总和（（二项式（2*k-2，k-1）*（-1）^（n-k）*二项式[n-2，n-k）]/k，k，1，n）；/*_Vladimir Kruchinin，2014年5月27日*/

%Y a（n+2）=A001006（n）。

%Y参考A000108、A014137、A144218。

%K nonn公司

%0、5

%A _迈克尔·索莫斯，2003年7月13日