%I#50 2023年5月25日07:29:26

%S 1,6,525045136538565752966225792680266247488322568291791872，

%电话：9225568051210305370890241155017620684812982432977152，

%电话：14628415675764165186919864074241868870089990471682117944490818011136240383059124584273199990096465494016

%N系数1/sqrt（1-12*x+4*x^2）；同时，a（n）是（1+6*x+8*x^2）^n的中心系数。

%C从（0,0）到（n，n）的Delannoy路径的数量，步骤为U（0,1）、H（1,0）和D（1,1），其中H和D可以分别从两种颜色中选择（或者其中一个步骤为单色，另两个步骤为双色）。-_Paul Barry_，2005年5月30日

%C 2^n*P_n（3），其中P_n是第n个勒让德多项式。2^n*LegendreP（n，k）得到了（1+2*k*x+（k^2-1）*x^2）^n的中心系数，其中g.f.1/sqrt（1-4*k*x+4*x^ 2），例如f.exp（2*k*x）*BesselI（0,2*sqrt（k^2-2）*x）_保罗·巴里，2005年5月30日

%C有理函数的对角线1/（1-x-2*y-2*x*y），1/（1-x-2*y*z-2*x*y*z），1/（1-2*x-y*z-2-x*y*z）_Gheorghe Coserea，2018年7月7日

%H Harvey P.Dale，n表，n=0..939的a（n）</a>

%H Hacène Belbachir和Abdelghani Mehdaoui，<a href=“https://doi.org/10.2989/16073606.2020.1729269“>与二项系数平方和相关的递归关系，Quaestions Mathematicae（2021）第44卷，第5期，615-624。

%H Hacène Belbachir、Abdelghani Mehdaoui和LászlóSzalay，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL22/Szalay/szalay42.html“>帕斯卡金字塔中的对角线和，II：应用，J.Int.Seq.，第22卷（2019年），第19.3.5条。

%F a（n）=2*A052141（n）=2^n*A001850（n），n>0。

%F From _Paul Barry，2005年5月30日：（开始）

%例如：exp（6*x）*Bessel_I（0，2*sqrt（8）*x）。

%F a（n）=和{k=0..层（n/2）}C（n，k）*C（2（n-k），n）*（-1）^k*3^（n-2*k）。（结束）

%带递归的F D-有限：n*a（n）+6*（-2*n+1）*a（n-1）+4*（n-1_R.J.Mathar，2012年11月30日

%F G.F.:G（0）/2，其中G（k）=1+1/（1-x*（6-2*x）*（2*k+1）/（x*（6~2*x）x（2*k+1）+（k+1）/G（k+1；（连分数）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2013年7月17日

%F a（n）=2^n*超2F1（-n，-n，1，2）_Peter Luschny_，2015年5月20日

%F a（n）=A059474（n，n）_Alois P.Heinz，2017年10月5日

%F a（n）~2^（n-5/4）*（1+sqrt（2））^（2*n+1）/sqrt（Pi*n）_瓦茨拉夫·科特索维奇，2018年7月11日

%e G.f.：1/sqrt（1-2*b*x+（b^2-4*c）*x^2）产生（1+b*x+c*x2）^n的中心系数。

%pa:=n->2^n*超深层（[-n，-n]，[1]，2）：

%p seq（简化（a（n）），n=0..20）；#_Peter Luschny_，2015年5月20日

%t系数列表[系列[1/Sqrt[（1-12x+4x^2）]，{x，0,20}]，x]（*H arvey P.Dale_，2017年12月13日*）

%t表[2^n*LegendreP[n，3]，{n，0,40}]（*_G.C.Greubel_，2023年5月21日*）

%o（PARI）对于（n=0,30，t=polceoff（（1+6*x+8*x^2）^n，n，x）；打印1（t“，”）

%o（岩浆）[2^n*评估（勒让德多项式（n），3）：[0..40]]中的n；//_G.C.Greubel，2023年5月21日

%o（SageMath）[2^n*gen_legendre_P（n，0,3）for n in range（41）]#_G.C.Greubel_，2023年5月21日

%形式为2^n*LegendreP（n，2*m+1）的Y序列：A000079（m=0），此序列（m=1），A098270（m=2）。

%Y参考A001850、A052141、A059474。

%Y另一种解释见A152254。

%K nonn公司

%0、2

%A·保罗·D·汉纳，2003年6月10日