%I#95 2024年4月5日19:45:14

%S 1,1,1,2,1,1,5,3,1,14,14,4,1,1,42,84,30,5,1132594330,55,6,1，

%电话：1429471947191001,91,7,114304089881796260262548140,8,1,1，

%电话：48623792361643356884841113845712204,9,1167963711916371191603711960685276839535211628285,10,1

%N加泰罗尼亚数字墙的上三角。

%C作为方形阵列：某些对称平面分区的数量，见Forrester/Gamburd论文。

%C格式为方形数组，k列给出了从A000108（k）开始的加泰罗尼亚数字（A000108）的汉克尔变换；示例：[42，132，429，1430，4862，…]的汉克尔变换是[42，594，4719，26026，111384，…]（参见A091962）_Philippe Deléham，2007年4月12日

%C As方阵T（n，k）：壁长为n的所有k个西瓜的数量。-Ralf Stephan_，2007年5月9日

%C考虑“Young tableaux包含集合{1，…，n}中的条目，严格地在行中增加，而不是在列中减少。注意，通常使用行和列之间的相反约定。”de Sainte-Catherine和Viennot（1986）证明了“数字b_{n，k}由b_{n，k}=Product_{1<=i<=j<=n}（2*k+i+j）/（i+j

%C作为平方数组，对于k>=1和n>=1，b（k，n）=T（n+k-1，n）是位于对角线下方的非相交格路径的n元组P=（P_1，P_2，…，P_n）的数量，这样每个P_i都从（i，i）开始，并在（2n+k-i，2n+k-i）结束。（这只是一种看待n个西瓜的不同方式，因为这些路径的许多步骤都是固定的，而其余的步骤则形成n个西葫芦。参见Kratentihaler等人的论文。）等价地，b（k，n）是Dyck路径的n元组数（p_1，p_2，…，p_n），每个具有2k个步骤，使得对于每个i（1<=i<=n-1），pi包括在p{i+1}中。如果对于所有j（1<=j<=2k），j步后的路径p的高度最多为j步后路径q的高度，则称Dyck路径p包含在Dyck轨迹q中_Farzan Byramji_，2021年6月17日

%H Alois P.Heinz，行n=0..100，扁平</a>

%H R.Bacher，<a href=“https://arxiv.org/abs/math/0109013“>与Pascal三角形相关的矩阵，arXiv:math/0109013[math.CO]，2001。

%H Paul Barry，<a href=“https://arxiv.org/abs/2011.10827“>加泰罗尼亚数连续对线性组合的Hankel变换注释，arXiv:2011.10827[math.CO]，2020。

%H M.de Sainte-Catherine和G.Viennot，<a href=“https://doi.org/10.1007/BFb0072509“>具有有界高度的某些Young表的枚举，in：G.Labelle和P.Leroux（eds），<a href=”https://doi.org/10.1007/BFb0072503“>Combinatoireénumérative</a>，《数学讲义》，第1234卷，施普林格，柏林，海德堡，1986年，第58-67页。

%H P.J.Forrester和A.Gamburd，<A href=“https://arxiv.org/abs/math/0503002“>与一些随机矩阵平均值相关的计数公式</a>，arXiv:math/0503002[math.CO]，2005。

%H P.J.Forrester和A.Gamburd，<A href=“https://doi.org/10.1016/j.jcta.2005.09.001“>与一些随机矩阵平均值相关的计数公式，J.Combina.Theory Ser.a 113（6）（2006），934-951。

%H M.Fulmek，<a href=“https://arxiv.org/abs/math/0607163“>有壁的2-西瓜平均高度的渐近性</a>，arXiv:math/0607163[math.CO]，2006。

%H M.Fulmek，<a href=“https://doi.org/10.37236/982“>有壁2西瓜平均高度的渐近性</a>，Electron.J.Combin.14（2007），R64。

%H C.Kratentihaler、A.J.Guttmann和X.G.Viennot，<A href=“https://doi.org/10.1088/0305-4470/33/48/318“>邪恶的步行者、友好的步行者和年轻的画面：II.有墙</a>，J.Phys.a:Math.Gen.33（2000），8835-8866。

%H Vincent Pilaud，<a href=“http://arxiv.org/abs/1505.07665“>砖多面体、格商和Hopf代数，arXiv:1505.07665[math.CO]，2015。

%H Vincent Pilaud，<a href=“https://doi.org/10.1016/j.jcta.2017.11.014“>砖多面体、格商和Hopf代数，J.Combina.Theory Ser.a 155（2018），418-457。

%H Michael Somos，<a href=“https://grail.eecs.csuohio.edu/~somos/nwic.html“>组合数学中的数字墙。

%F T（n，k）=产品{i=1..n-k}产品{j=i..n-k}（i+j+2*k）/（i+j）。[由_Petros Hadjicostas_修订，2019年7月24日]

%F来自_G.C.Greubel_，2021年12月17日：（开始）

%F T（n，k）=乘积{j=0..k-1}二项式（2*n-2*j，n-j）/二项式。

%F T（n，k）=（（n+1）/（n-k+1）！）*产品{j=0..k-1}加泰罗尼亚语（n-j）/二项式（n+j+1，n-j）。（结束）

%e三角形T（n，k）（行n>=0，列k>=0）的起始位置如下：

%e 1；

%e 1，1；

%e 1、2、1；

%e 1、5、3、1；

%e 1、14、14、4、1；

%e 1、42、84、30、5、1；

%e 1、132、594、330、55、6、1；

%e编号14294719471001991,7,1；

%e 11430、40898、81796、26026、2548、140、8、1；

%电子邮箱：14862、379236、1643356、884884、111384、5712、204、9、1；

%e。。。

%p T：=（n，k）->mul（mul（（i+j+2*k）/（i+j），j=i..n-k），i=1..n-k）：

%p序列（序列（T（n，k），k=0..n），n=0..10）；#_Alois P.Heinz，2019年9月4日

%tT[n_，k_]：=乘积[（2*i+1）！*（2*n-2*i）！/（n-i）！（n+i+1））！，{i，0，k-1}]；表[T[n，k]，{n，1，10}，{k，0，n}]//Flatten（*Jean-François Alcover_，2015年10月28日，改编自PARI*）

%o（PARI）T（n，k）=如果（k<0|k>n，0，prod（i=0，k-1，（2*i+1）*（2*n-2*i）/（n-i）/（n+i+1）！）

%o（PARI）{C（n）=如果（n<0.0，（2*n）！/n！/（n+1）！）}；T（n，k）=如果（k<0 | | k>n，0，matdet（矩阵（k，k，i，j，C（i+j-1+n-k）））

%o（鼠尾草）

%o定义A078920（n，k）：返回乘积（二项式（2*n-2*j，n-j）/二项式

%o压扁（[[A078920（n，k）代表k in（0..n）]代表n in（0..10）]）#_G.C.格鲁贝尔，2021年12月17日

%Y列为A000012、A000108、A005700、A006149、A006150、A006151。

%Y对角线为A000027、A000330、A006858。

%Y T（2n，n）得到A358597。

%Y参考A123352。

%K轻松，不，tabl

%0、5

%迈克尔·索莫斯，2002年12月15日

%E T（0,0）=1由_Petros Hadjicostas_于2019年7月24日编制