%I#108 2024年5月17日10:19:25

%S 1,7,5035725491820012994999278436624850473017933377401，

%电话：2411463600172179826011229373418078777793752506267392968557，

%电话：4474953015514931951410405460022813482585373491628895191381604311304011655249650830417033500563593

%N a（N）=7*a（N-1）+a（N-2），其中a（0）=1，a（1）=7。

%一般来说，递归a（n）=k*a（n-1）+a（n-2）和a（0）=1（和a（-1）=0）的序列具有生成函数1/（1-k*x-x^2）。如果k是奇数（k>=3），则它们满足a（3n）=b（5n），a（3n+1）=b（5n+3），a（3n+2）=2*b（5n+4），其中b（n）是连分式的分母序列，收敛于sqrt（k^2+4）。[如果k是偶数，则a（n）是连分式的分母序列收敛到sqrt（k^2/4+1）。]

%C a（p）==53^（（p-1）/2））（mod p），对于奇数素数p.-_Gary W.Adamson_，2009年2月22日

%C摘自Johannes W.Meijer，2010年6月12日：（开始）

%C对于上面给出的序列，k=7，这意味着它与A041091相关。

%C关于递归序列a（n）=k*a（n-1）+a（n-2）但a（0）=2和a（-1）=0的类似语句，请参见A086902；与A041090关联的序列。

%C有关更多信息，请访问Khovanova链接，参见A087130、A140455和A178765。

%C（结束）

%C对于正n，a（n）等于n×n三对角矩阵的永久值，7沿着主对角线，1沿着上对角线和次对角线_John M.Campbell，2011年7月8日

%C a（n）等于字母{0,1，…，7}上长度为n的单词数，避免奇数长度的零_米兰Janjic_，2015年1月28日

%C来自_Michael A.Allen_，2023年2月21日：（开始）

%C也称为7-metallonacci序列；g.f.1/（1-k*x-x^2）给出了k-metallonacci序列。

%C a（n）是使用单位正方形和多米诺骨牌（尺寸为2 X 1）的n块板（尺寸为n X 1的板）的瓷砖数量，如果有7种正方形可用。（结束）

%H Vincenzo Librandi，n的表，n=0..1000的a（n）</a>

%H Michael A.Allen和Kenneth Edwards，<A href=“https://www.fq.math.ca/Papers1/60-5/allen.pdf“>涉及metallonacci数平方或立方的栅栏砖衍生恒等式，Fib.Q.60:5（2022）5-17。

%H Sergio Falcón和天使广场http://dx.doi.org/10.1016/j.chaos.2006.09.022“>关于斐波纳契k数，混沌、孤子与分形，2007；32（5）：1615-24。

%H Sergio Falcón和天使广场http://dx.doi.org/10.1016/j.chaos.2006.10.022“>k-Fibonacci序列和Pascal 2三角形</a>混沌、孤立和分形2007；33（1）：38-49。

%H米兰Janjic，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL18/Janjic/janjic63.html“>关于由正整数组成的线性递归方程</a>，《整数序列杂志》，第18卷（2015年），第15.4.7条。

%H Tanya Khovanova，<a href=“http://www.tanyakhovanova.com/RecursiveSequences/RecursiveSequences.html“>递归序列</a>

%王凯，<a href=“https://www.researchgate.net/publication/339487198_On_k-Fibonacci_Sequences_And_Infinite_Series_List_of_Results_And_Examples“>关于k-Fibonacci序列和无穷级数的结果和示例列表，2020年。

%H<a href=“/index/Rec#order_02”>常系数线性重复出现的索引条目，签名（7,1）。

%与切比雪夫多项式相关的序列的索引项</a>

%F a（3n）=A041091（5n），a（3n+1）=A04191（5n+3），a。

%传真：1/（1-7x-x^2）。

%F a（n）=U（n，7*i/2）*（-i）^n，其中i^2=-1，Chebyshev的U（n、x/2）=s（n，x）多项式。参见A049310。

%F a（n）=F（n，7），在x=7时计算的第n个斐波那契多项式_T.D.Noe_，2006年1月19日

%F From _Sergio Falcon，2007年9月24日：（开始）

%F a（n）=（σ^n-（-σ）^（-n））/（sqrt（53）），σ=（7+sqrt）/2；

%F a（n）=和{i=0..floor（（n-1）/2）}二项式（n-1-i，i）*7^（n-1-2i）。（结束）

%F a（n）=（（7+平方码（53））^n-（7-平方码（54））^n）/（2^n*平方码（52））。偏移量1。a（3）=50.-Al Hakanson（hawkuu（AT）gmail.com），2009年1月17日

%F发件人：Johannes W.Meijer，2010年6月12日：（开始）

%F a（2n+1）=7*A097836（n），a（2n）=A097838（n）。

%F Lim_{k->oo}a（n+k）/a（k）=（A086902（n）+A054413（n-1）*sqrt（53））/2。

%F Lim_{n->oo}A086902（n）/A054413（n-1）=平方码（53）。

%F（结束）

%F和{n>=0}（-1）^n/（a（n）*a（n+1））=（sqrt（53）-7）/2.-_Vladimir Shevelev，2013年2月23日

%F来自王凯，2020年2月24日：（开始）

%F和{m>=0}1/（a（m）*a（m+2））=1/49。

%F Sum_｛m>=0｝1/（a（2*m）*a（2*m+2））=（sqrt（53）-7）/14。

%F通常，对于递归F（n）=k*F（n-1）+F（n-2）且F（0）=1的序列，

%F和{m>=0}1/（F（m）*F（m+2））=1/（k^2）。

%F和{m>=0}1/（F（2*m）*F（2*m+2））=（sqrt（k^2+4）-k）/（2*k）。（结束）

%例如：（1/53）*exp（7*x/2）*（53*cosh（sqrt（53）*x/2）+7*sqrt（53）*sinh（sqrt（53）*x/2））_斯特凡诺·斯佩齐亚（Stefano Spezia），2020年2月26日

%F G.F.：x/（1-7*x-x^2）=任意m（伸缩级数）的和{n>=0}x^（n+1）*（乘积{k=1..n}（m*k+7-m+x）/（1+m*k*x））_彼得·巴拉（Peter Bala），2024年5月8日

%t线性递归[{7，1}，{1，7}，30]（*Vincenzo Librandi_，2013年2月23日*）

%o（Sage）[lucas_number1（n，7，-1）代表范围（1，19）内的n]#_Zerinvary Lajos_，2009年4月24日

%o（岩浆）I:=[1,7]；[n le 2选择I[n]else 7*自我（n-1）+自我（n-2）：n in[1..25]]；//_文森佐·利班迪（Vincenzo Librandi），2013年2月23日

%o（PARI）a（n）=（[0,1；1,7]^n*[1；7]）[1,1]\\查尔斯·格里特豪斯四世，2016年4月8日

%Y参见A000045、A000129、A001076、A005668、A006190、A052918、A243399。

%A073133、A172236和A352361的Y行n=7。

%Y参考A099367（正方形）。

%K nonn，简单

%0、2

%A _Henry Bottomley_，2000年5月10日

%E公式由Johannes W.Meijer修正，2010年5月30日，2010年6月2日

%E由T.D.Noe_延长，2011年5月23日