%I#152 2022年9月8日08:44:59

%S 1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,12,13,14,15,16,17,18,19,21,22,23,24,25,26,27,28，

%电话：29,31,32,33,34,35,36,37,38,39,41,42,43,44,45,46,47,48,49,51,52,53,54，

%U 55,56,57,58,59,61,62,63,64,65,66,67,68,69,71,72,73,74,75,76,77,78,79,81,82,83,84,85,86,87,88,89,91,92,93,94,95,96,97,98,99111112113单位

%没有0作为数字的N个数字，也称为无零数字。

%C条目1至79与A043095的相应子序列匹配，但81、91-98、100、102等仅位于两个序列中的一个序列中_R.J.Mathar，2008年10月13日

%A011540的C补体；A168046（a（n））=1；A054054（a（n））>0；A007602、A038186、A038618、A052041、A052043和A052045是子序列_Reinhard Zumkeller_，2012年4月25日，2011年4月7日，2009年12月1日

%C a（n）=n以9为基数，其中不允许零，但允许九。使用的九个不同的数字是1、2、3…、。。。，9而不是0，1，2。。。，8.要从允许零的“规范”基9序列中获得此序列，只需将任何0替换为9，然后从左侧的一组数字中减去1即可。例如，9^3=729（10）（以10为基数）=1000（9）（以9为基数）=889（9-{0}）_罗宾·加西亚（Robin Garcia），2014年1月15日

%C摘自_Hieronymus Fischer，2014年5月28日：（开始）

%C倒置：给定一个项m，指数n使得a（n）=m可以通过A052382_inverse（m）=m-sum_{1<=j<=k}floor（m/10^j）*9^（j-1）计算，其中k:=floor（log_10（m））[有关Smalltalk中的实现，请参阅Prog部分]。

%C示例1:A052382_iverse（137）=137-（楼层（137/10）+楼层（137/100）*9）=137-（13*1+1*9）=137-22=115。

%C示例2:A052382_iverse（4321）=4321-（floor（4321/10）+floor（4221/100）*9+floor。（结束）

%C这些数字从a（1）=1到无穷大的倒数之和，称为Kempner级数，收敛到极限：23.103447……其十进制展开式为A082839_伯纳德·肖特，2019年2月23日

%C整数n>0使用以9为基数的双射数字编码，请参阅下面的维基百科链接_阿洛伊斯·海因茨，2020年2月16日

%D Paul Halmos，“年轻人和老年人的数学问题”，Dolciani数学博览会，1991年，第258页。

%H Reinhard Zumkeller，n的表，n=1..10000的a（n）</a>

%H K.马勒，<a href=“http://carmaweb.newcastle.edu.au/mahler/docs/115.pdf“>关于缺失数字的整数的生成函数，J.Indian Math.Soc.15A（1951），34-40。

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/KempnerSeries.html“>Kempner系列。

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/Zerofee.html“>Zerrere公司</a>

%H维基百科，<a href=“https://en.wikipedia.org/wiki/Bijective_numeration（英文）“>双射计数</a>

%H<a href=“/index/Ar#10-automatic”>为10-automatic序列的索引条目</a>。

%F a（n+1）=F（a（n）），F（x）=1+如果x mod 10<9，则x else 10*F（[x/10]）_Reinhard Zumkeller_，2009年11月15日

%F摘自2012年4月30日、5月30日和6月8日，2019年2月17日：（开始）

%F a（n）=总和{j=0..m-1}（1+b（j）mod 9）*10^j，其中m=楼层（log_9（8*n+1）），b（j。

%F另外：a（n）=总和{j=0..m-1}（1+A010878（b（j）））*10^j。

%F a（9*n+k）=10*a（n）+k，k=1..9。

%F特殊值：

%F a（k*（9^n-1）/8）=k*（10^n-1”）/9，k=1..9。

%F a（（17*9^n-9）/8）=2*10^n-1。

%F a（（9^n-1）/8-1）=10^（n-1）-1，n>1。

%F不等式：

%F a（n）<=（1/9）*（（8*n+1）^（1/log_10（9））-1），等式适用于n=（9^k-1）/8，k>0。

%F a（n）>（1/10）*（8*n+1）^（1/log_10（9））-1），n>0。

%F下限和上限：

%F lim inf a（n）/10^log_9（8*n）=1/10，对于n->无穷大。

%F lim inf a（n）/n^（1/log_10（9））=8^（1/1log_10，9））/10，对于n->无穷大。

%F lim-sup a（n）/10^log_9（8*n）=1/9，对于n->无穷大。

%F lim-sup a（n）/n^（1/log_10（9））=8^（1/1log_10，9）/9，对于n->无穷大。

%计算公式：G（x）=（x^（1/8）*（1-x））^（-1）和{j>=0}10^j*z（j）^。

%F另外：g（x）=（1/（1-x））和{j>=0}（1-10（x^9^j）^9+9。这里，f_j服从递归f_0（x）=1/（1-x^9），f_（j+1）（x）=10x*f_j（x^9。

%F另外：g（x）=（1/（1-x））*（（总和{k=0..8}h（9，k）（x））-9*h（9,9）（x。

%F以p为基数且仅使用数字1、2、3…的类似序列的通用公式。。。d、 其中1<d<p：

%F a（n）=总和{j=0..m-1}（1+b（j）mod d）*p^j，其中m=楼层（log_d（（d-1）*n+1）），b（j。

%F特殊值：

%F a（k*（d^n-1）/（d-1））=k*（10^n-1。

%F a（d*（（2d-1）*d^（n-1）-1）/（d-1））=（（d+9）*10^n-d）/9=10^n+d*（10^n-1）/9。

%F a（（d^n-1）/（d-1）-1）=d*（10^（n-1）-1，/9，n>1。

%F不等式：

%F a（n）<=（10^log_d（（d-1）*n+1）-1）/9，等式适用于n=（d^k-1）/（d-1），k>0。

%F a（n）>（d/10）*（10^log_d（（d-1）*n+1）-1）/9，n>0。

%F下限和上限：

%F lim inf a（n）/10^log_d（（d-1）*n）=d/90，对于n->无穷大。

%F lim-sup a（n）/10^log_d（（d-1）*n）=1/9，对于n->无穷大。

%F G.F.：G（x）=（1/（1-x））和{j>=0}（1-（d+1）（x^d^j）^d+d（x^d_j）^（d+1。这里，f_j服从递归f_0（x）=1/（1-x^d），f_（j+1）（x）=px*f_j（x^d。

%F（结束）

%F A052382={n|A054054（n）>0}.-_M.F.Hasler，2013年1月23日

%F摘自2019年2月20日的《铁杉》：（开始）

%F和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=0.696899720。。。

%F和{n>=1}1/a（n）^2=1.6269683705819。。。

%F和{n>=1}1/a（n）=23.1034479…=A082839。这个所谓的凯姆普纳级数收敛得很慢。对于总和的计算，使用以下快速收敛的部分和分数是有帮助的：

%F lim_{n->infinity}（和_{k=p（n）..p（n+1）-1}1/a（k））/（和__{k=p（n-1）..p。

%F（结束）

%e对于k>=0，a（10^k）=（1，11，121，1331，14641，162151，1783661，19731371，…）=A325203（k）_Hieronymus Fischer，2012年5月30日和2012年6月6日；由M.F.Hasler编辑，2020年1月13日

%p a：=proc（n）局部d，l，m；m： =n；l： =空；

%当m>0时，p表示d：=irem（m，9，'m'）；

%p如果d=0，则d:=9；m： =m-1 fi；

%p l：=d，l

%p od；解析（cat（l））

%p端：

%p序列（a（n），n=1..100）；#_Alois P.Heinz，2015年1月11日

%t A052382=选择[范围[100]，数字计数[#，10，0]==0&]（*_Alonso del Arte_，2011年3月10日*）

%o（哈斯克尔）

%o a052382 n=a052382_list！！（n-1）

%o a052382_list=迭代f 1，其中

%o f x=1+如果r<9，则x其他10*f x'，其中（x'，r）=divMod x 10

%o--_Reinhard Zumkeller_，2015年3月8日，2011年4月7日

%o（岩浆）[1..114]中的n：n，而不是Intseq（n）中的0；//_布鲁诺·贝塞利（Bruno Berselli），2011年5月28日

%o（sh）序列0 1000 | grep-v 0；#_Joerg Arndt_，2011年5月29日

%o（PARI）选择（{is_A052382（n）=n&&vecmin（digits（n））}，[0..111]）\\实际上：is_A052282=（bool）A054054.-_M.F.Hasler_，2013年1月23日，编辑：2020年1月13日

%o（PARI）a（n）=对于（w=0，oo，如果（n>=9^w，n-=9^w，返回（（10^w-1）/9+来自数字（数字（n，9）））\\ Rémy Sigrist_，2017年7月26日

%o（PARI）

%o应用（{A052382（n，L=logint（n，9））=来自数字（数字（n-9^L>>3,9））+10^L\9}，[1..100]）

%o next_A052382（n，d=数字（n+=1））={表示（i=1，#d，d[i]||return（n-n%（d=10^（#d-i+1））+d\9））；n}\\至少a（k）>n.用于A038618。

%o（{A052382_vec（n，M=1）=M--；向量（n，i，M=next_A052382（M））}）（99）\\n项>=M

%o\\有关更多程序，请参阅OEIS Wiki页面（请参阅LINKS）_M.F.Hasler，2020年1月11日

%o（Smalltalk）

%o A052382

%o“回答A052382的第n项，其中n是接收器。”

%o^自零：10

%o A052382_反向

%o“回答满足A052382（n）=m的索引n，其中m是接收器。”

%o^self-zerofree_inverse:10

%o零自由：基数

%o“回答基数中的第n个零自由数，其中n是接收器。对于基数>2有效。

%o用法：n无零：b[b=10，用于此序列]

%o答案：a（n）“

%o | n m s c bi cid公司|

%o n：=自身。

%o c：=基础-1。

%o m:=（基数-2）*n+1整数floorLog:c。

%o d：=n-（（（c raisedToInteger:m）-1）//（基数-2））。

%o bi：=1。

%o ci：=1。

%o s：=0。

%o 1至：m

%o做：

%o[：i|

%o s：=（d//ci\\c+1）*bi+s。

%o bi:=基础*bi。

%o ci:=c*ci]。

%o个

%o zerofree_inverse：基数

%o“回答索引n，使基数中的第n个零自由数=m，其中m是接收器。对于基数>2有效。

%o用法：m zerofree_inverse:b[b=10用于此序列]

%o答案：n“

%o | m p q s公司|

%o m:=自我。

%o s：=0。

%o p：=基础。

%o q：=1。

%o[p<m]whileTrue:

%o[s：=m//p*q+s。

%o p:=基础*p。

%o q：=（基数-1）*q]。

%o^m-秒

%o“作者：Hieronymus Fischer，2014年5月28日”

%o（Python）

%o A052382=[n代表范围（1,10**5）中的n，如果不是str（n）.count（'0'）]

%o#_Chai Wah Wu_，2014年8月26日

%Y参考A004719、A052040，与A067251不同。

%Y参见A055640、A046034、A007931、A00793、A08454、A084545。

%A214676的Y列k=9。

%Y参考A011540（补遗）、A043489、A054054、A168046。

%Y参见A052383（无1）、A052404（无2）、A05205（无3）、A05.2406（无4）、A052 413（无5）、A05 2414（无6）、A0 52419（无7）、A0152421（无8）、A007095（无9）。

%其他一些基数中的Y零数<=10:A000042（基数2）、A032924（基数3）、A023705（基数4）、A248910（基数6）、A255805（基数8）、A25508（基数9）。

%Y参考A082839（倒数之和）。

%Y参考A038618（素数子集）

%Y子序列：A007602、A038186、A052041、A052043、A052045、A059405、A066484、A099542。

%K基础，简单，无

%O 1,2号机组

%A _Henry Bottomley_，2000年3月13日

%2012年5月30日，Heronymus Fischer修正了配方奶粉中的E类错误