%I#65 2020年6月10日09:23:17

%S 1、-9、1162、-27、1、-4374891、-54、1157464、-364502835、-90、1、-7085880、，

%电话：1797714，-1640256885，-135,1382637520，-10416243610655064，-535815，

%U 14175，-189,1，-241061637606944870988，-7754314684141409，-142884026082，-252,1

%N第一类广义斯特林数三角形。

%C T（n，m）=R_n^m（a=0，b=9），以给定1962年参考文献的符号表示。

%C T（n，m）是一个Jabotinsky矩阵，即一元行多项式e（n，x）：=Sum_{m=1..n}T（n、m）*x^m=Product_{j=0..n-1}（x-9*j），n>=1，e（0，x）:=1是指数卷积多项式（有关定义和Knuth参考，请参见A039692）。

%C From _Petros Hadjicostas，2020年6月6日：（开始）

%C对于非负整数n，m和复数a，b（b≤0），米特里诺维奇（1961）引入了数字R_n^m（a，b），使用了稍微不同的符号。米特里诺维奇和米特里诺奇（1962）对其进行了进一步检查。本文件和其他相关文件中列出了特殊情况。

%C这些数字的特殊情况与诺伦德（1924）引入的数字有关。

%这些数字是通过g.f.Product_{r=0..n-1}（x-（a+b*r））=Sum_{m=0..n}r_n^m（a，b）*x^m定义的，当n>=0时。因此，对于n>=m>=1，R_n^m（a，b）=R_{n-1}^{m-1}（a，b）-（a+b*（n-1））*R_{n-1}^m（a，b），其中R_1^0（a，b）=a，R_1^1（a，b）=1，并且对于n<m，R_n^m（a，b）=0

%C在a=0和b=1的情况下，我们得到了满足乘积{R=0}^{n-1}（x-R）=Sum=0..n}S1（n，m）*x^m的第一类斯特林数S1但没有零行和零列。）

%对于n>=m>=0，我们有R_n^m（a，b）=Sum_{k=0}^{n-m}（-1）^k*a^k*b^（n-m-k）*二项式（m+k，k）*S1（n，m+k）。

%C对于当前数组，T（n，m）=R_n^m（a=0，b=9），但没有零行或零列。（结束）

%H D.S.Mitrinovic，<a href=“https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k750m/f1360.image.r=Mitrinovic“>《相对伯努利名义的现状关系》，巴黎科学院，t.250（1960），4266-4267。

%H D.S.Mitrinovic，<a href=“https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k762d/f996.image.r=1961%20mitrinovic“>《Stirling科学图书馆》，巴黎科学院，第252卷（1961年），第2354-2356页。

%H D.S.Mitrinovic和R.S.Mitrinovic，<a href=“https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN311570321_0010？tify=｛%22页%22:[45]，%22浏览%22:%22信息%22｝“>斯特林大学</a>，《塞尔比共和国数学与物理学会公报》，第10期（1958年），43-49。

%H D.S.Mitrinovic和R.S.Mitrinovic，<a href=“https://www.jstor.org/stable/43667599“>Sur les nombres de Stirling et les nombers de Bernoulli d'ordre supérieux，贝尔格莱德大学，Elektrotehn出版社，Fak.Ser.Mat.Fiz.，第43期（1960年），第1-63页。

%H D.S.Mitrinovic和R.S.Mitrinovic，<a href=“https://www.jstor.org/stable/43667490“>《斯特灵命名分类》——附录：斯特灵命名表</a>，贝尔格莱德大学，Publ.Elektrotehn.Fak.Ser.Mat.Fiz.，编号60（1961），1-15和17-62。

%H D.S.Mitrinovic和R.S.Mitrinovic，<a href=“http://pefmath2.etf.rs/files/47/77.pdf“>表aux d’une class e de nombres relisés aux nombres-de Stirling，贝尔格莱德大学，电子出版，传真，Ser.Mat.Fiz.，第77期（1962年），第1-77页。

%H D.S.Mitrinovic和R.S.Mitrinovic，<a href=“https://www.jstor.org/stable/43667130“>表aux d'une class e de nombres relisés aux nombres-de Stirling</a>，贝尔格莱德大学，电子出版，传真，Ser.Mat.Fiz.，第77号（1962年），1-77[jstor稳定版]。

%H D.S.Mitrinovic和R.S.Mitrinovic，<a href=“https://www.jstor.org/stable/43669525“>表aux d'une class e de nombres reliés aux nombres-de Stirling.V</a>，贝尔格莱德大学，电子出版物，Fak.Ser.Mat.Fiz.，第132/142号（1965），第1-22页。

%H Niels Nörlund，<a href=“https://eudml.org/doc/204170“>Vorlesungenüber Differenzenrechnung，柏林施普林格，1924年。

%H维基百科，<a href=“https://en.wikipedia.org/wiki/Dragoslav_Mitrinovi%C4%87“>德拉戈斯拉夫·米特里诺维奇。

%F T（n，m）=T（n-1，m-1）-9*（n-1）*T（n-1,m），n>=m>=1；T（n，m）：=0，n<m；T（n，0）：当n>=1时=0；T（0，0）=1。

%F例如，对于有符号三角形的第m列：（log（1+9*x）/9）^m/m！。

%F From _Petros Hadjicostas，2020年6月7日：（开始）

%F T（n，m）=9^（n-m）*Stirling1（n，m）=9^（n-m）*A048994（n，m）=9^（n-m）*A008275（n，m）对于n>=m>=1。

%F双变量例如F.-o.g.F.：和{n，m>=1}T（n，m）*x^n*y^m/n！=exp（y/9）*log（1+9*x））-1=（1+9*x）^（y/9）-1。（结束）

%e三角形T（n，m）（行n>=1，列m=1..n）开始：

%e 1；

%e-9，1；

%e 162，-27，1；

%电子-4374，891，-54，1；

%e 157464，-36450，2835，-90，1；

%电子邮箱：7085880、1797714、-164025、6885、-135、1；

%e。。。

%e第三行o.g.f.：e（3，x）=产品{j=0..2}（x-9*j）=162*x-27*x^2+x^3。[编辑：_Petros Hadjicostas_，2020年6月6日]

%Y第一（m=1）列序列为A051232（n-1）。

%Y行总和（有符号三角形）：A049211（n-1）*（-1）^（n-1）。

%Y行总和（无符号三角形）：A045756（n）。

%Y参考A008275（b=1个三角形）、A048994（b=1个三角形）和A051187（b=8个三角形）。

%K符号，简单，表格

%O 1,2号机组

%A _狼人郎_