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%I#101 2023年12月6日14:18:20
%S 1,1,2,3,1,5,10,6,1,15,37,31,10,1,52151160,75,15,1203674856，
%电话：520155,21,18773263480235561400287,28,14140170072833724626，
%电话：119913290490,36,12114794828175896174805101031346716972786,45,1
%N数字a（N，k），0<=k<=N的三角形：{1,2，…，N}的集合分区数，其中精确区分了k个块。
%C按行读取三角形a（n，k）；由[1，1，1，2，1，3，1，4，1，5，1，…]DELTA[1，0，1，0，0，1,0，1…]给出，其中DELTA是A084938中定义的Deléham算子。
%C指数Riordan数组[exp（ex（x）-1），exp（x）-1]。-_保罗·巴里（Paul Barry），2009年1月12日
%C等于A048993*A007318.-_菲利普·德雷厄姆，2011年10月31日
%C这个下单位三角形阵列是Hankel矩阵（Bell（i+j-2））_i，j>=1的LU分解中的L因子，其中Bell（n）=A000110（n）。U系数为A059098（见张伯兰，第1672页）_Peter Bala，2023年10月15日
%H Alois P.Heinz，行n=0..140，扁平</a>
%H M.Aigner，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/S0012-365X（99）00108-9“>贝尔数的表征，《离散数学》，205（1999），207-210。
%H Paul Barry，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL17/Barry2/barry281.html“>从A和Z序列构造指数Riordan数组，整数序列杂志，17（2014），#14.2.6。
%H Zhanar Berikkyzy、Pamela E.Harris、Anna Pun、Catherine Yan和Chenchen Zhao，<a href=“https://arxiv.org/abs/2308.14183“>Vacillating Tableaux的组合恒等式</a>，arXiv:2308.14183[math.CO]，2023。见第11页。
%H Marc Chamberland，<a href=“https://doi.org/10.1016/j.laa.2011.08.030“>因子分解矩阵可以生成组合恒等式</a>，《线性代数及其应用》，第438卷，第4期，2013年2月15日，第1667-1677页。
%H J.East和R.D.Gray，<a href=“http://arxiv.org/abs/1404.2359“>有限分块幺半群和相关半群中的幂等生成元</a>，arXiv预印本arXiv:1404.2359[math.GR]，2014。
%H Tom Halverson和Theodore N.Jacobson，<a href=“https://arxiv.org/abs/1808.08118“>Set-partition tableaux and representations of diagram algebras，arXiv:1808.08118[math.RT]，2018年。
%H Aoife Hennessy和Paul Barry，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL14/Barry6/barry161.html“>广义Stirling数、指数Riordan数组和正交多项式，J.Int.Seq.14（2011）#11.8.2。
%H Marin Kneze ević、Vedran Krćadinac和Lucija Relić，<a href=“https://arxiv.org/abs/2012.15307“>二项式系数和无符号斯特林数的矩阵乘积</a>，arXiv:2012.15307[math.CO]，2020。
%H W.F.Lunnon等人，<a href=“http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa35/aa3511.pdf“>Bell数对复合模量I的算术性质，《算术学报》，35（1979），1-16。
%H J.Riordan，《信函》，1977年10月31日。数组位于第二页。
%F a（n，k）=a（n-1，k-1）+（k+1）*a。
%F a（n，k）=和{i=0..n}斯特林2（n，i）*二项式（i，k）.-_Vladeta Jovovic_，2001年1月27日
%第k列的F例如为（1/k！）*（exp（x）-1）^k*exp（exp_Vladeta Jovovic_，2001年1月27日
%F G.F:1/（1-x-xy-x^2（1+y）/（1-2x-xy-2x^2_Paul Barry，2009年4月29日
%例如：exp（（y+1）*（exp（x）-1））_Geoffrey Critzer，2012年11月30日
%F注意，A244489（本质上是相同的三角形）的公式为T（n，k）=Sum_{j=k.n}二项式（n，j）*Stirling_2（j，k）*Bell（n-j），其中Bell（n）=A000110（n），对于n>=1，0<=k<=n-1_N.J.A.Sloane，2016年5月17日
%F a（2n，n）=A245109（n）_Alois P.Heinz，2017年8月23日
%F经验：a（n，k）=p（1^n）[st（1^k）]（符号见A002872）_Andrey Zabolotskiy_，2017年10月17日
%F a（n，k）=和{j=0..k}（-1）^（k-j）*A046716（k，k-j）*贝尔（n+j）/k！.-_Peter Luschny_，2023年12月6日
%e三角形开始：
%e 1；
%e 1，1；
%e 2、3、1；
%e 5、10、6、1；
%e 15、37、31、10、1；
%e。。。
%e来自Paul Barry，2009年1月12日：（开始）
%e生产阵列开始
%e 1，1；
%e 1、2、1；
%e 0、2、3、1；
%e 0、0、3、4、1；
%e 0，0，0，4，5，1；
%e。。。（结束）
%p a:=proc（n，k）选项记忆`如果`（k<0或k>n，0，
%p`如果`（n=0，1，a（n-1，k-1）+（k+1）*（a（n-1k）+a（n-1,k+1）））
%p端：
%p序列（序列（a（n，k），k=0..n），n=0..15）；#_Alois P.Heinz，2012年11月30日
%t a[n_，k_]=总和[StirlingS2[n，i]*二项式[i，k]，{i，0，n}]；扁平[表[a[n，k]，{n，0，9}，{k，0，n}]]
%t（*_Jean-François Alcover，2011年8月29日，在_Vladeta Jovovic_*之后）
%o（PARI）T（n，k）=如果（k<0 | | k>n，0，n！*polcoeff（polcooff（exp（（1+y）*（exp（x+x*o（x^n））-1）），n），k））
%o（鼠尾草）
%o定义A049020_三角形（dim）：
%o M=矩阵（ZZ，dim，dim）
%o对于n in（0..dim-1）：M[n，n]=1
%o表示n in（1..dim-1）：
%对于k in（0..n-1）：
%o M[n，k]=M[n-1，k-1]+（k+1）*M[n-1，k]+（k+1）*
%o返回M
%o A049020_三角形（9）#_Peter Luschny_，2012年9月19日
%Y第一列给出A000110，第二列=A005493。
%Y第三列=A003128，行总和=A001861，A059340。
%Y有关此三角形的另一种版本，请参见A244489。
%Y参见A059098、A245109、A046716。
%K nonn，tabl，很好，很容易
%0、4
%A _N.J.A.斯隆_
%E来自_James A.Sellers_的更多条款。
%E更好的定义摘自《杰弗里准则》，2012年11月30日。
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