%I#38 2023年9月22日05:20:56

%S 1、-1,1,0、-2,1,0,1、-3,1、-1,0,3、-4,1,0，-2、-1,6、-5,1、-1、-2、-3、-4,10、-6,1、，

%温度0，-2,6，-3，-10,15，-7,1,0,2，-6,12,0，-20,21，-8,1,0,1,6，-16,19,9，-35,28，

%铀-9,1,0,0,16，-35,24,28，-56,36，-10,1，-1,2，-3，-6,40，-65,21,62，-84,45，-11,1

%N三角形T（N，k），对于N>=1，1<=k<=N，按行读取，给出（Product_{j>=1}（1-（-x）^j）-1）^k展开式中x^N的系数。

%这是一个普通的卷积三角形。如果添加了从n=0开始的k=0列，则这是Riordan三角形R（1，f（x）），其中

%Cf（x）=产品{j>=1}（1-（-x）^j）-1，生成{0，{A121373（n）}_{n>=1}}_沃尔夫迪特·朗，2021年2月16日

%H Alois P.Heinz，<a href=“/A047265/b047265.txt”>行n=1..200，扁平</a>

%H H.Gupta，<a href=“https://doi.org/10.112/jlms/s1-39.1.433“>关于Dedekind模形式的幂系数，J.London Math.Soc.，39（1964），433-440。

%H H.Gupta，关于Dedekind模形式的幂系数

%F G.F.列k:（乘积_{j>=1}（1-（-x）^j）-1）^k，对于k>=1。请参阅上面的名称和Riordan三角形注释_沃尔夫迪特·朗，2021年2月16日

%F来自G.C.Greubel，2023年9月7日：（开始）

%F T（n，n）=1。

%F T（n，n-1）=-A000027（n-1）。

%F T（n，n-2）=A000217（n-3）。

%F T（n，n-3）=-A000292（n-5）。

%F和{k=1..n}T（n，k）=（-1）^n*A307059（n）。

%F和{k=1..n}（-1）^k*T（n，k）=（-1）*n*A000041（n）。（结束）

%e三角形开始：

%e 1，

%e-1、1、，

%e 0，-2，1，

%e 0，1，-3，1，

%e-1、0、3、-4、1、，

%e 0，-2，-1，6，-5，1，

%e-1、2、-3、-4、10、-6、1、，

%e 0、-2、6、-3、-10、15、-7、1、，

%e 0、2、-6、12、0、-20、21、-8、1、，

%e 0、1、6、-16、19、9、-35、28、-9、1、，

%e 0、0、0，16、-35、24、28、-56、36、-10、1、，

%e-1、2、-3、-6、40。。。

%p g:=proc（n）选项记忆`如果`（n=0，1，加（加（[-d，d，-2*d，d]

%p[1+irem（d，4）]，d=numtheory[除数]（j））*g（n-j），j=1..n）/n）

%p端：

%p T:=proc（n，k）选项记忆；

%p`if`（k=0，`if`）（n=0，1，0），`if'（k=1，`if `（n=0,0，g（n）），

%p（q->加（T（j，q）*T（n-j，k-q），j=0..n））（iquo（k，2）））

%p端：

%p序列（序列（T（n，k），k=1..n），n=1..12）；#_阿洛伊斯·海因茨，2021年2月7日

%tT[n_，k_]：=级数系数[（-1）^n*（乘积[（1-x^j），{j，n}]-1）^k，{x，0，n}]；

%t表[t[n，k]，{n，12}，{k，n}]//Flatten（*_Jean-François Alcover_，2013年12月5日*）

%o（PARI）T（n，k）=波尔科夫（（-1）^n*（Ser（prod（i=1，n，1-x^i）-1）^k），n）\\_Ralf Stephan，2013年12月8日

%o（岩浆）

%o R<x>：=PowerSeriesRing（整数（），40）；

%o T:=func<n，k|系数（R！（（-1）^n*（-1+（&*[1-x^j:j in[1..n]]））^k），n）>；

%o[T（n，k）：[1..n]中的k，[1..12]]中的n；//_G.C.Greubel，2023年9月7日

%o（SageMath）

%o来自sage.combinat.q_analogues import q_pochhammer

%o P.<x>=PowerSeriesRing（ZZ，50）

%o定义T（n，k）：返回P（（-1）^n*（-1+q_pochhammer（n，x，x））^k）.list（）[n]

%o压扁（[[T（n，k）代表范围（1，n+1）中的k]代表范围（1,13）中的n）#_G.C.Greubel_，2023年9月7日

%Y列：A001482-A001488、A001490、A006665、A010815、A047649、A047654、A04765、A047938-A047648。

%Y参考A341418（符号不同）。

%Y参考A000027、A000041、A000217、A000292、A121373、A307059。

%K符号，简单，漂亮，tabl

%O 1,5型

%A _N.J.A.斯隆_