|
%I#109 2023年11月3日06:42:44
%S 0,0,0,1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,1,4,4,4，4,6,6,6，6,7,7,7，
%T 7,8,8,8，8,8,13,13,13，9,9,9,10,10,10，10,10,12,12，12,13，13,13，
%U 14,14,14,14-14,15,15,15，15,15,16,16,16，16,18,18,18，18,19
%N N！中尾随零的数目！；5的最高幂除以n！。
%C也是10除以n的最大幂！（不同于A054899）_Hieronymus Fischer_，2007年6月18日
%C a（n）=（n-A053824（n））/4.-_Lekraj Beedassy，2010年11月1日
%C或者，a（n）等于n的基数-5表示法A007091（n）的展开式（即，从右到左的连续位置代表5^n或A000351（n）），其符号量表的连续位置从右到右代表（5^n-1）/4或A003463（n）；例如，n=7392具有base-5表达式2*5^5+1*5^4+4*5^3+0*5^2+3*5^1+2*5^0，因此a（7392）=2*781+1*156+4*31+0*6+3*1+2*0=1845_Lekraj Beedassy_，2010年11月3日
%C A112765的部分金额_Hieronymus Fischer，2012年6月6日
%D M.Gardner，“阶乘奇数”，《数学魔术秀：科学美国人的更多谜题、游戏、消遣、幻觉和其他数学智慧》第4章。纽约：Vintage，1978年，第50-65页。
%H Hieronymus Fischer，n表，n=0..100000的a（n）（来自T.D.Noe的前1000个术语）
%H David S.Hart、James E.Marengo、Darren A.Narayan和David S Ross，<A href=“http://www.jstor.org/stable/27646601“>关于n！中尾随零的数量，大学数学杂志，39（2）：139-1452008。
%H Enrique Pérez Herrero，<a href=“http://psycedelic-geometry.blogspot.com/2009/08/trailing-zeros-in-n.html“>在n中追踪零！</a>，迷幻几何博客。
%H S.Ikeda，K.Matsuoka，<a href=“http://siauliaims.su.lt/pdfai/2013/Iked-Mats-2013.pdf“>关于由某些整数序列生成的超越数，Siauliai Math.Semin.，8（16）2013，63-69。
%H S-C Liu，J.C.-C.Yeh，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL13/Liu2/liu6.html“>加泰罗尼亚数模2^k</a>，J.Int.Seq.13（2010），10.5.4，eq（5）。
%H A.M.Oller-Marcén先生<a href=“网址：http://arxiv.org/abs/0906.4868“>重新查看n！的尾随零，arXiv:0906.4868v1[math.NT]，2009。
%H A.M.Oller-Marcen，J.Maria Grau，<A href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL14/Oller/oller3.html“>《关于b^k！尾随零个数的基数b展开》，J.Int.Seq.14（2011）11.6.8
%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/Factorial.html“>阶乘</a>。
%H<a href=“/index/Fa#factorial”>与阶乘数相关的序列的索引项</a>
%F a（n）=总和{i>=1}层（n/5^i）。
%F a（n）=（n-A053824（n））/4。
%F摘自2007年6月25日和8月13日的《费舍尔黄杨》，由M.F.Hasler编辑，2019年12月27日：（开始）
%F G.F.：G（x）=和{k>0}x^（5^k）/（1-x^。
%F a（n）=总和{k=5..n}总和{j|k，j>=5}（楼层（log_5（j））-楼层（log_ 5（j-1）））。
%F G.F.：G（x）=L[b（k）]（x）/（1-x）
%F其中L[b（k）]（x）=和{k>=0}b（k。
%F G.F.：G（x）=和{k>0}c（k）*x^k/（1-x），
%F其中c（k）=总和{j>1，j|k}楼层（log_5（j））-楼层（log_ 5（j-1））。
%F重复：
%F a（n）=楼层（n/5）+a（楼层（n/6））；
%F a（5*n）=n+a（n）；
%F a（n*5 ^ m）=n*（5 ^ m-1）/4+a（n）。
%F a（k*5^m）=k*（5^m-1）/4，对于0<=k<5，m>=0。
%F渐近行为：
%F a（n）=n/4+O（log（n）），
%F a（n+1）-a（n）=O（log（n）），由以下不等式得出。
%F a（n）<=（n-1）/4；5的权力是平等的。
%F a（n）>=n/4-1层（log_5（n））；等式适用于n=5^m-1，m>0。
%F lim-inf（n/4-a（n））=1/4，对于n->oo。
%F lim-sup（n/4-log_5（n）-a（n））=0，对于n->oo。
%F lim-sup（a（n+1）-a（n）-log_5（n））=0，对于n->oo。
%F（结束）
%F a（n）<=A027869（n）.-_Reinhard Zumkeller_，2008年1月27日
%F 10^a（n）=A000142（n）/A004154（n）.-_Reinhard Zumkeller，2012年11月24日
%e a（100）=24。
%e a（10^3）=249。
%e a（10^4）=2499。
%e a（10^5）=24999。
%e a（10^6）=249998。
%e a（10^7）=2499999。
%e a（10^8）=24999999。
%e a（10^9）=249999998。
%e a（10^n）=10^n/4-3对于10<=n<=15，除了a（10*14）=10*14/4-2_M.F.Hasler，2019年12月27日
%p 0，seq（加上（楼层（n/5^i），i=1..楼层（对数[5]（n）），n=1..100）；#_罗伯特·伊斯雷尔，2014年11月13日
%t表[t=0；p=5；而[s=楼层[n/p]；t=t+s；s>0，p*=5]；t、 {n，0，100}]
%t表[IntegerExponent[n！]，{n，0，80}]（*_Robert G.Wilson v_*）
%tzOF[n_Integer？正]：=模块[{maxpow=0}，而[5^maxpow<=n，maxpow++]；加上@@表[商[n，5^i]，{i，maxpow-1}]]；属性[zOF]={可列表}；加入[{0}，zOF[Range[100]]]（*哈维·P·戴尔，2022年4月11日*）
%o（哈斯克尔）
%o a027868 n=总和$takeWhile（>0）$map（n`div`）$tail a000351_list
%o——Reinhard Zumkeller，2012年10月31日
%o（PARI）a（n）={my（s）；while（n=5，s+=n）；s}\\_Charles R Greathouse IV_，2012年11月8日，由M.F.Hasler_编辑，2019年12月27日
%o（PARI）a（n）=估价（n！，5）\\_Charles R Greathouse IV_，2012年11月8日
%o（PARI）适用（A027868（n）=（n个总和（n，5））\4，[0.99]）\\ M.F.Hasler_，2019年12月27日
%o（Python）
%o从sympy导入多重性
%o A027868，p5=[0,0,0,0，0]，0
%o表示范围（5,10**3,5）内的n：
%o p5+=多重性（5，n）
%o A027868.扩展（[p5]*5）#_Chai Wah Wu_，2014年9月5日
%o（Python）
%o def A027868（n）：如果n<5，则返回0，否则n//5+A027869（n//5）#_David Radcliffe_，2016年6月26日
%o（岩浆）[估值（因子（n），5）：n in[0..80]]；//_布鲁诺·贝塞利（Bruno Berselli），2021年10月11日
%Y有关缺失的数字，请参见A000966。关于涉及2和3的幂的类似物，请参见A011371和A054861。
%Y请参阅A054899、A007953、A112765、A067080、A098844、A132027、A0670080、A08844、A132029、A054999、A112765A191610、A000351。
%Y另请参见A000142、A004154。
%Y参考A008904
%K nonn，基础，好，容易
%O 0,11号
%A_Warut Roonguthai（瓦鲁特·隆古泰）_
%E Heronymus Fischer添加的示例，2012年6月6日
| 