%I#105 2024年9月2日10:41:33

%S 0,1,2,4,12,40144421288544350081457926152962625792111616，

%电话：4912435221483852894535014441824122881859322470483015133184，

%电话：372090122240167360915712755226297958434178799378432155096251351040705533929816064

%N a（N）=a（1）*a（N-1）+a（2）*a当n>=3时，a（n-1）*a（1）。

%g.f.A（x）的C系列反转为-A（-x）_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2003年7月27日

%C a（n）是从（0,0）到（n-1，n-1）的皇家小径数（A006318），以便每个东北（对角线）台阶紧跟着北台阶或结束小径。例如，a（3）=4表示EDN、EENN、END、ENEN（E=东，D=对角线，N=北）_David Callan，2006年7月3日

%C From _David Callan，2006年9月25日：（开始）

%C a（n）是具有n个叶的有序树的数量，其中（i）每个节点（＝非根非叶顶点）至少有2个子节点，并且（ii）每个叶是其父节点的最左边或最右边的子节点。例如，a（3）=4计数

%C类|

%抄送/\/\

%C/\（抄送）/\

%C及其镜像。（结束）

%C摘自William Sit（wyscc（AT）sci.ccny.cuny.edu），2010年6月26日：（开始）

%C a（n+1），n>=0，也是一个幂等元生成器x和arity n的一个运算符中的Rota-Baxter字数。

%C或者，a（n+1）是将括号对加到n x的字符串中的方法数（括号对的数量m必须满足非零计数的m<=n<=2m+1），这样就不会立即嵌套两对括号，也不会有两个x保持相邻。（结束）

%C a（n）是n-1个顶点上的有色二叉树的数量，其中叶子有2种可能的颜色，内部节点有1种颜色_Alexander Burstein_，2020年3月7日

%D L.Guo和W.Sit，《Rota-Baxter词汇列举》（扩展摘要），ISSAC 2006年会议记录，123-131。【摘自William Sit（wyscc（AT）sci.ccny.cuny.edu），2010年6月26日】

%D L.Guo和W.Sit，《Rota-Baxter单词枚举》，发表于《计算机科学中的数学》，AADIOS特别会议专刊，ACA，2009年。【摘自William Sit（wyscc（AT）sci.ccny.cuny.edu），2010年6月26日】

%H Michael De Vlieger，<a href=“/A0252727/b025227.txt”>n的表，a（n）表示n=0..1470</a>

%H Paul Barry，<a href=“https://arxiv.org/abs/1807.05794“>Riordan伪卷积，连分式和Somos 4序列，arXiv:1807.05794[math.CO]，2018。

%H Alexander Burstein和Louis W.Shapiro，<a href=“https://arxiv.org/abs/112.11595“>Riordan群中的伪进化</a>，arXiv:2112.11595[math.CO]，2021。

%H M.Dziemianczuk，<a href=“http://arxiv.org/abs/1410.5747“>在具有附加垂直步长的定向格点路径上，arXiv预打印arXiv:1410.5747[math.CO]，2014。

%H.L.Guo和W.Y.Sit，<a href=“http://dx.doi.org/10.1007/s11786-010-0061-2“>Rota-Baxter Words的枚举和生成函数</a>，Math.Comput.Sci.4（2010）313-337。

%H INRIA算法项目，<a href=“http://ecs.inria.fr/services/structure？nbr=655“>组合结构百科全书655</a>

%H INRIA算法项目，<a href=“http://ecs.inria.fr/services/structure？nbr=657“>组合结构百科全书657</a>

%H D.Merlini、D.G.Rogers、R.Sprugnoli和M.C.Verri，<a href=“http://dx.doi.org/10.4153/CJM-1997-015-x“>关于Riordan数组的一些替代特征</a>，加拿大数学杂志，49（1997），301-320。

%F a（n）=A052709（n）+A052708（n-1）。

%F A100238（n）=-（-1）^n*a（n），对于n>1。

%F a（n）=和{k=0..floor（n/2）}C（n-k-1）*二项（n-k，k），其中C（q）=二项（2q，q）/（q+1）是加泰罗尼亚数字（A000108）_Emeric Deutsch_，2001年11月14日[{a（n+1）}_{n>=0}=A068763的行总和_Wolfdieter Lang，2023年1月21日]

%F D-有限，递归n*a（n）=（4n-6）*a（n-1）+（4n-12）*a。a（1）=1，a（2）=2。

%F G.F.满足A（x）-A（x）^2=x+x ^2_拉尔夫·斯蒂芬，2003年6月30日

%F a（n）=和{k=0..n-1}C（k）*C（k+1，n-k-1）_保罗·巴里，2005年2月23日

%F G.F.A（x）满足A（x_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2005年9月8日

%总建筑面积：（1-sqrt（1-4x-4x^2））/2=2（x+x^2_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2000年6月8日

%给定一个整数t>=1，初始值u=[a_0，a_1，…，a{t-1}]，我们可以通过设置a_n=a_{n-1}+a_0*a_{n-1}+a_1*a{n-2}+…+来定义无限序列Phi（u）a_{n-2}*a_1表示n>=t。例如，Phi（[1]）是加泰罗尼亚数字A000108。目前的序列（本质上）是Phi（[1，2]）。-_Gary W.Adamson_，2008年10月27日

%F摘自William Sit（wyscc（AT）sci.ccny.cuny.edu），2010年6月26日：（开始）

%F a（n+1），n>=0，是表R（m，n）=二项式（m+1，n-m）c（m）第n列的列总和，其中c（m）是第m个加泰罗尼亚数字A000108。

%F当且仅当m<=n<=2m+1时，表格条目为非零。

%F R（m，n）给出了一个幂等元生成器x和一个度为m和arity n的运算符中Rota-Baxter单词的数量，或将m对括号加到n x的字符串中的方法的数量（对于非零计数，n必须位于m和2m+1之间，包括m和2m+1），使得没有两对括号被立即嵌套，并且没有两个x保持相邻。（结束）

%F G.F.:A（x）=B（B（x）），其中B（x）是A182399的G.F-_Paul D.Hanna，2012年4月27日

%F G.F:1-x+x*G（0），其中G（k）=1+1/（1-（1+x）/（1+x/G（k+1））；（连分数）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2013年8月1日

%F a（n）~（1+平方（2））^（n-1/2）*2^（n-5/4）/（平方（Pi）*n^（3/2））_Vaclav Kotesovec_，2013年8月18日，简化版2023年1月21日

%F O.g.F.：A（x）=x*S（x/（1+x）），其中S（x）=（1-x-sqrt（1-6*x+x^2））/（2*x）是大薛定谔数A006318的O.g.F.-_Peter Bala，2020年3月5日

%F G.F.:A（x）满足（（A（x）-A（-x））/（2*x））^2=S（4*x^2），其中S（x）是大Schröder数A006318的G.F.-_Alexander Burstein，2021年5月20日

%F A（x）=（x+x^2）*c（x+x^2），其中c（x）＝（1-sqrt（1-4*x））/（2*x）是加泰罗尼亚数字A000108的g.F。注意，（x-x^2）*c（x-x*2）=x.-Peter Bala_，2024年8月29日

%e对于n=2，a（3）=4有以下单词：x（x），（x）x，（x（xWilliam Sit（wyscc（AT）sci.ccny.cuny.edu），2010年6月26日

%t表[CatalanNumber[n-1]超几何2F1[（1-n）/2，-n/2，3/2-n，-1]+KroneckerDelta[n]，{n，0，20}]（*_Vladimir Reshetnikov_，2016年5月17日*）

%o（PARI）a（n）=波尔科夫（（1-sqrt（1-4*x-4*x^2+x*o（x^n）））/2，n）

%Y参见A052709、A052709.和A100238。

%Y参见A182399、A219534、A000108、A006318。

%Y参考A068763。

%K nonn，简单

%0、3

%百灵鸟金伯利_