%I#125 2023年4月11日08:42:23

%S 0,0,1,3,6,11,21,42,85171342683136527305461109232184643691，

%电话873811747623495256990511398102279620355924051118481022369621，

%电话：4473924389478486178956971357913941715827882143165576528633115315726623062

%N a（N）=C（N，2）+C（N、5）+…+C（n，3*层（n/3）+2）。

%C三段给出A082365、A132804和A132805_Paul Curtz，2007年11月18日

%C如果偏移量更改为1，这是平面中n条直线切割后以直线为边界的最大闭合区域数：a（n）=a（n-1）+n-3，a（1）=0；a（2）=0；a（3）=1；等等。-Srikanth K S_，2008年1月23日

%C^n*[1,0,0]=[A024493（n），a（n）和A024494（n）]；其中M=3x3矩阵[1,1,0；0,1,1；1,0,1]。项的总和=2^n。例如：M^5*[1,0,0]=[11,11,10]，总和=2^5=32_Gary W.Adamson，2009年3月13日

%C对于n>=1，a（n-1）是当存在i^2/2-3*i/2+1不同类型的i（i=1,2，…）时n的广义组成数_米兰Janjic_2010年9月24日

%设M是任意向量空间上的任意自同态，使得M^3=1（恒等式）。则（1+M）^n=A024493（n）+A024494（n）*M+a（n）*M^2.-_Stanislav Sykora，2012年6月10日

%C{A024493、A131708、A024495}是三阶双曲函数{h1（x）、h2（x）和h3（x）}的差分模拟。关于{h_i（x）}和差分模拟{h_i（n）}的定义，分别参见[Erdelyi]和Shevelev链_Vladimir Shevelev，2017年8月1日

%C这是p（S）=1-S^3的（1,1,1,1,1，…）的p-逆；见A291000_克拉克·金伯利（Clark Kimberling），2017年8月24日

%D A.Erdelyi，《高等超越函数》，McGraw-Hill，1955年，第三卷，第十八章。

%D D.E.Knuth，《计算机编程的艺术》。Addison-Wesley，马萨诸塞州雷丁，第1卷，第2页。编辑，问题38，第70页。

%H Seiichi Manyama，<a href=“/A024495/b024495.txt”>n表，n=0..3000的a（n）</a>

%H Paul Barry，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL11/Barry/barry594.html“>关于Krawtchouk多项式和Riordan数组的注释，JIS 11（2008）08.2.2，示例9。

%H安托万·奥古斯汀·古诺（H Antoine-Augustin Cournot），<a href=“https://archive.org/details/bulletindesscie22unknogog/page/n101/mode/2up？view=store“>分析组合问题的解决方案，《数学科学公报》，第34项，第11卷，1829年，第93-97页。另请访问<a href=“http://books.google.com.au/books？id=B-v-eXuvoG4C“>谷歌图书。第97页案例p=3公式y^（2）=a（n）。

%H Christian Ramus，<a href=“https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN243919689_0011？tify=%7B%22pages%22%3A%5B365%5D%2C%22view%22%3A%22info%22%7D“>分析组合问题的解决方案</a>，《克里勒期刊》，第11卷，1834年，第353-355页。第353页，情况p=3，公式y^（2）=a（n）。

%H Vladimir Shevelev，<a href=“https://arxiv.org/abs/1706.01454“>n阶双曲函数和三角函数的差分模拟生成的组合恒等式</a>，arXiv:1706.01454[math.CO]，2017。

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/PlaneDivisionbyLines.html“>按线条划分平面</a>

%H<a href=“/index/Rec#order_03”>具有常数的线性重复出现的索引条目，签名（3，-3,2）。

%F a（n）=（2^n+2*cos（（n-4）*Pi/3））/3=（2*n-A057079（n））/3。

%F a（n）=2*a（n-1）+A010892（n-2）=a（n-l）+A024494（n-1。对于初始零，A011655的二项式变换有效地是A010892无符号_Henry Bottomley，2001年6月4日

%F a（2）=1，a（3）=3，a（n+2）=a（n+1）-a（n）+2^n.-贝诺伊特·克罗特，2002年9月4日

%F a（n）=和{k=0..n}2^k*2*sin（Pi*（n-k）/3+Pi/3）/sqrt（3）（偏移量0）.-_Paul Barry，2004年5月18日

%F.G.F.：x^2/（（1-x）^3-x^3）=x^2/（（1-2*x）*（1-x+x^2））。

%F a（n）=3*a（n-1）-3*a（n-2）+2*a（n-3）_Paul Curtz，2007年11月18日

%F a（n）+A024493（n-1）=A131577（n）.-_Paul Curtz，2008年1月24日

%F From _Paul Curtz，2011年5月29日：（开始）

%F a（n）+a（n+3）=3*2^n=A007283（n）。

%F a（n+6）-a（n）=21*2^n=A175805（n）。

%F a（n）+a（n+9）=171*2^n。

%F a（n+12）-a（n）=1365*2^n（结束）

%F a（n）=A113405（n）+A113405（n+1）-_Paul Curtz，2011年6月5日

%F从x（0）=1，y（0）=0，z（0）=0开始，并设置x（n+1）=x（n）+z（n），y（n+1。则a（n）=z（n）_Stanislav Sykora，2012年6月10日

%F G.F.:-x^2/（x^3-1+3*x/Q（0）），其中Q（k）=1+k*（x+1）+3*x-x*（k+1）*（k+4）/Q（k+1；（连分数）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2013年3月15日

%F a（n）=1/18*（-4*（-1）^楼层（n-1）/3）-6*（-1_John M.Campbell，2016年12月23日

%F a（n）=（1/63）*_John M.Campbell，2016年12月24日

%F a（n+m）=a（n）*A024493（m）+A131708（n）*1131708（m）+0024493（n）*a（m）.-_Vladimir Shevelev，2017年8月1日

%F来自Kevin Ryde，2020年9月24日：（开始）

%F a（n）=（1/3）*2^n-（1/3）*cos（（1/3）*1 i*n）-（1/sqrt（3））*sin（（1/3）*Pi*n）。[古诺]

%F a（n）+A111927（n）+A131708（n）=2^n-1。[古诺，第96页，最后一个公式，但印刷错误应为2^x-1，而不是2^p-1]

%F（完）

%p a:=proc（n）选项记忆`如果`（n=0，0，2*a（n-1）+

%p[-1，0，1，1，0，-1，-1][1+（n mod 6）]）

%p端：

%p序列（a（n），n=0..33）；#_保罗·维森霍恩（Paul Weisenhorn），2020年5月17日

%t线性递归[{3，-3,2}，{0,0,1}，40]（*哈维·P·戴尔，2016年9月20日*）

%o（PARI）a（n）=总和（k=0，n\3，二项式（n，3*k+2））/*_Michael Somos_，2006年2月14日*/

%o（PARI）a（n）=如果（n<0，0，（[1,0,1；1,1,0；0,1,1]^n）[3,1]）/*迈克尔·索莫斯，2006年2月14日*/

%o（Magma）R<x>：=PowerSeriesRing（整数（），30）；[0,0]cat系数（R！（x^2/（（1-x）^3-x^3））；//_G.C.Greubel，2023年4月11日

%o（SageMath）

%o定义A024495（n）：返回（2^n-切比雪夫_U（n，1/2）-切比雪夫_U（n-1，1/2））/3

%o[A024495（n）代表范围（41）内的n]#_G.C.Greubel_，2023年4月11日

%Y参见A007283、A010892、A011655、A024493、A024944、A024995、A057079、A082365。

%Y参考A083322、A139469、A111927、A113405、A131577、A131708、A132804、A13280。

%Y参考A175805，A291000。

%形式为1/（（1-x）^m-x^m）的Y序列：A000079（m=1,2），该序列（m=3），A000749（m=4），A049016（m=5），A192080（m=6），A04.9017（m=7），A290995（m=8），A306939（m=9）。

%K nonn，简单

%0、4

%百灵鸟金伯利_