%I#138 2024年3月29日11:44:06

%S 1,2,3,6,9,14,22,32,46,66,9312817623831942656273601242，

%电话1598204826083306417552486570819810190126221558919190，

%电话：2355228830351904284252034630407619891904110604132832159216190464227417

%N乘积展开{m>=1}（1+x^m）^2。

%C Ramanujan theta函数：f（q）（见A121373）、phi。

%C将n划分为不同部分的分区数，每个部分有2种类型。例如，对于n=4，我们认为k和k*是k的不同版本，因此我们有4，4*，31，31*，3*1，3*1*，22*，211*，2*11*，因此a（4）=9_Jon Perry_，2004年4月4日

%C将n划分为奇数部分的数量，每个部分有两种。例如，a（3）=6，因为我们有3，3'，1+1+1，1+1+1'，1+1'+1'，1'+1'+1'.-_Emeric Deutsch，2005年3月22日

%周期2序列[2,0,2,0，…]的C Euler变换_Emeric Deutsch，2005年3月22日

%C等于A000041与A010054卷积。-_Gary W.Adamson_，2009年6月11日

%C n中所有分区的最小间距之和。分区的“最小间距”是不属于分区的最小正整数。示例：a（4）=9，因为[4]、[3,1]、[2,2]、[2,1,1]和[1,1,1,1]中的最小间隙分别为1、2、1、3和2_Emeric Deutsch_，2015年5月18日

%C n.-n.J.A.Sloane_的2-正则二分的个数，2019年10月20日

%最小间隙也称为最小排除或mex；见安德鲁斯和纽曼_乔治·贝克2020年12月10日

%D P.J.Grabner，A.Knopfmacher，一些新分区统计分析，Ramanujan J.，12，2006，439-454。

%D Kathiravan，T.和S.N.Fathima。“关于模L的L-正则双分割”，《Ramanujan期刊》44.3（2017）：549-558。

%H Alois P.Heinz，n的表格，n=0..10000的a（n）</a>

%H George E.Andrews，David Newman，<a href=“https://doi.org/10.1007/s00026-019-00427-w“>分区和最小排他</a>，《组合数学年鉴》，第23卷，2019年5月，第249-254页。

%H Cristina Ballantine，Mircea Merca，<a href=“https://arxiv.org/abs/1710.05960“>二分θ级数、分区中的最小r-间隙和多边形数，arXiv:1710.05960[math.CO]，2017。

%H J.Currie，N.Rampersad，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL18/Currie/currie12.html“>避免xx^Rx和强单峰序列的二进制字，JIS 18（2015）#15.10.3。

%H Alejandro Erickson，Frank Ruskey，<a href=“网址：http://arxiv.org/abs/11304.0070“>使用v垂直多米诺骨牌枚举方形网格的最大榻榻米垫覆盖物，arXiv:1304.0070[math.CO]，2013。

%H Alejandro Erickson和Mark Schurch，<a href=“http://arxiv.org/abs/1110.5103“>方形区域的单体-双体榻榻米瓷砖，arXiv预印本arXiv:1110.5103[math.CO]，2011年。

%H INRIA算法项目，<a href=“http://ecs.inria.fr/services/structure？nbr=852“>组合结构百科全书852</a>

%H瓦茨拉夫·科特索维奇，<a href=“http://arxiv.org/abs/1509.08708“>一种基于生成函数卷积的q级数渐近性的方法</A>，arXiv:1509.0870800[math.CO]，2015年9月30日，第8页。

%H Mircea Merca，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/j.jnt.2014.10.009“>除数生成函数的新观点，《数论杂志》，第149卷，2015年4月，第57-69页。

%H Mircea Merca，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/j.jnt.2015.08.014“>最近正整数除数卷积的组合解释，《数论杂志》，第160卷，2016年3月，第60-75页。见q（n）’。

%H Mbavhalelo Mulokwe和Konstantinos Zoubos，<a href=“https://arxiv.org/abs/2403.08531“>自由费米子，中性和模变换，arXiv:2403.08531[hep-th]，2024。

%H Michael Somos，Ramanujan theta函数简介</a>

%H Jacob Sprittulla，<a href=“https://arxiv.org/abs/2008.09984“>关于有色因子分解，arXiv:2008.09984[math.CO]，2020。

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/RamanujanThetaFunctions.html“>Ramanujan Theta函数</a>

%F a（n）=p（n）+p（n-1）+p+p（n-k*（k+1）/2）+。。。，其中p（）是A000041（）。例如a（8）=p（8）+p（7）+p_Vladeta Jovovic_，2004年8月9日

%2008年4月27日，q^（-1/12）*（eta（q^2）/eta（q））^2以q.-Michael Somos_的幂展开

%F chi（-q）^（-2）的q次幂展开式，其中chi（）是Ramanujanθ函数_Michael Somos，2008年4月27日

%F G.F.是周期1傅里叶级数，满足F（-1/（288 t））=（1/2）G（t），其中q=exp（2 Pi i t），G（）是A022597的G.F.-_Michael Somos，2008年4月27日

%F G.F.：产品{k>0}（1+x^k）^2。

%F A000009的卷积平方。A022597.-的卷积逆_Michael Somos，2008年4月27日

%F奇偶性结果：a（n）是偶数，除非n是广义五边形数的两倍（即，对于某些m，形式为2*A001318（m））_Peter Bala_，2009年3月19日

%F a（n）~exp（Pi*sqrt（2*n/3））/（4*6^（1/4）*n^（3/4））*（1+（Pi/（12*sqort（6））-3*sqert（3/2）/（8*Pi））/sqrt（n）+（Pi^2/1728-45/（256*Pi^2）-5/64）/n）_Vaclav Kotesovec_，2015年3月5日，2017年1月22日延期

%F a（0）=1，a（n）=（2/n）*和{k=1..n}A000593（k）*a（n-k）对于n>0.-_Seiichi Manyama，2017年4月3日

%F G.F.：exp（2*Sum_{k>=1}（-1）^（k+1）*x^k/（k*（1-x^k）））_伊利亚·古特科夫斯基，2018年2月6日

%e G.f=1+2*x+3*x^2+6*x^3+9*x^4+14*x^5+22*x^6+32*x*x^7+46*x^8+。。。

%e G.f.=q+2*q^13+3*q^25+6*q^37+9*q^49+14*q^61+22*q^73+32*q*85+。。。

%p A022567:=程序（n）

%p局部x，m；

%p乘积（（1+x^m）^2，m=1..n）；

%p膨胀（%）；

%p系数（%，x，n）；

%结束程序：#R.J.Mathar_，2016年6月18日

%t a[n_]：=级数系数[QPochhammer[q，q^2]^-2，{q，0，n}]；（*迈克尔·索莫斯，2011年7月11日*）

%t a[n_]：=系列系数[乘积[1+q^k，{k，n}]^2，{q，0，n}]；（*迈克尔·索莫斯，2011年7月11日*）

%t（QPochhammer[-1，x]^2/4+O[x]^30）[[3]]（*_Vladimir Reshetnikov_，2016年9月22日*）

%t最大值nmax=50；poly=常量数组[0，nmax+1]；聚[1]]=1；聚[2]]=2；聚[[3]]=1；Do[Do[Do[poly[[j+1]]+=poly[[j-k+1]]，{j，nmax，k，-1}]，{p，1，2}]，{k，2，nmax}]；poly（*Vaclav Kotesovec_，2017年1月14日*）

%o（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，polceoff（prod（k=1，n，1+x^k，1+x*o（x^n））^2，n））}；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2004年3月21日*/

%o（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<0，0，a=x*o（x^n）；polceoff（（eta（x^2+a）/eta（x+a））^2，n））}；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2005年6月3日*/

%o（岩浆）系数（&*[（1+x^m）^2:m in[1..40]]）[1..40]，其中x是多项式环（整数（））。1；//_G.C.Greubel，2018年2月26日

%o（SageMath）#使用[EulerTransform from A166861]

%o b=二进制递归序列（0，1，0，2）

%o a=欧拉变换（b）

%o打印（[a（n）代表范围（45）内的n）]#_Peter Luschny_，2020年11月11日

%Y参考A000009、A022597、A285221、A304048。

%Y参考A010054.-_Gary W.Adamson_，2009年6月11日

%A286335的Y列k=2。

%对于r=2,3,4,5,6:A022567，A328547，A001936，A263002，A32854，n的r-正则双分割的Y个数。

%K nonn公司

%0、2

%A _N.J.A.Sloane，1998年6月14日