%I#158 2024年3月19日07:04:04

%S 1,0,3,6,9,2,7,7,5,5,1,4,3,3,6，9,9,2,6,3,3，3,1,6,5,4,7,3,4，

%T 1,6,8,0,5,7,0,8,9,1,9,5,0,1,9,12,8,1,9+7,7,9,0,3,8，

%U 0,3,5,8,9,7,8,6,2,8,1,4,8,4,5,6,0,4,3,1,0,6,5,7,1,3,3,3,3,3

%N zeta的十进制展开式（5）。

%C在2011年5月广泛分发的一封电子邮件中，Wadim Zudilin反驳了Kim 2011年预印本的v1：“错误（不可修正）出现在第6页，等式（3.3）之后的一行。‘没有通用性损失’可以证明仅适用于有限的n_k集；由于n_k足够大（且n是固定的），epsilon的不等式是错误的。”在2013年5月的一封电子邮件中，祖迪林将其反驳扩展到了第二版，并得出结论认为，金的论点“意味着泽塔（2）、泽塔（3）、泽塔（4）和泽塔（5）中至少有一个是非理性的，这是微不足道的。”——乔纳森·索多，2013年5月份6日

%C概述：zeta（2*s+1）=（A000364（s）/A331839（s））*Pi^（2*s+1）*Product_{k>=1}（A002145（k）^（2*s+1_Dimitris Valianatos_，2020年4月27日

%D Milton Abramowitz和Irene A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第811页。

%H Milton Abramowitz和Irene A.Stegun编辑，<A href=“http://www.convertit.com/Go/convertit/Reference/AMS55.ASP“>《数学函数手册》，国家标准局，应用数学系列55，第十版，1972年[替代扫描件]。

%H Michael J.Dancs和Tian Xiao He，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/j.jnt.2005.09.005“>zeta（2k+1）的欧拉型公式</a>，《数论杂志》，第118卷，第2期，2006年6月，第192-199页。

%H Robert J.Harley，<a href=“http://www.plouffe.fr/simon/constants/zeta3to99.txt“>Zeta（3），Zeta（5），..，Zeta，（99）</a>10000位数字（txt，400 KB）。

%H Yong-Cheol Kim，<a href=“http://arxiv.org/abs/1105.0730“>zeta（5）是非理性的，arXiv:1105.0730[math.CA]，2011。【Jonathan Vos Post，2011年5月4日】。

%H西蒙·普劳夫，<a href=“http://www.plouffe.fr/simon/constants/zeta5.txt“>Zeta的计算（5）</a>

%H西蒙·普劳夫，<a href=“http://www.worldwideschool.org/library/books/sci/math/MiscelloneousMathematicalConstants/chap99.html“>Zeta（5），总和（1/n**5，n=1..无穷大）到512位</a>

%H西蒙·普劳夫，<a href=“http://www.numberworld.org/y-cruncher/records.html“>其他有趣的计算</a>，请访问numberworld.org。

%H川安伟，<a href=“https://arxiv.org/abs/2303.07887“>数学常数zeta（4）和zeta（5）的一些快速收敛级数</a>，arXiv:2303.07887[math.CO]，2023。

%H维基百科，<a href=“http://en.wikipedia.org/wiki/Zeta_constant#Odd_positive_integers“>Zeta常数</a>

%H Wadim Zudilin，<a href=“http://dx.doi.org/10.4213/rm427“>其中一个数字ζ（5）、ζ（7）、ξ（9）和ζ（11）是无理的，俄罗斯数学研究院，56（2001），774-776。

%H<a href=“/wiki/Index_to_constants#Start_of_section_Z”>与zeta相关的常量的索引条目</a>

%F From _Peter Bala，2013年12月4日：（开始）

%F定义：zeta（5）=Sum_{n>=1}1/n^5。

%F zeta（5）=2^5/（2^5-1）*（和{n偶数}n^5*p（n）*p（1/n）/（n^2-1）^6），其中p（n）=n^2+3。参见A013667、A013671和A013675。（结束）

%F zeta（5）=总和{n>=1}_Mikael Aaltonen_，2015年2月22日

%F zeta（5）=乘积{k>=1}1/（1-1/素数（k）^5）_瓦茨拉夫·科特索维奇，2020年4月30日

%F From _Artur Jasinski，2020年6月27日：（开始）

%F zeta（5）=（-1/30）*积分{x=0..1}对数（1-x^4）^5/x^5。

%F zeta（5）=（1/24）*积分{x=0.无穷大}x^4/（exp（x）-1）。

%F zeta（5）=（2/45）*积分{x=0..无穷大}x^4/（exp（x）+1）。

%F泽塔（5）=（1/（1488*泽塔（1/2）^5））*“（1/2）-40*泽塔（1/2）^3*泽塔”“（1/2，*zeta”“（1/2）-20*泽塔“（1/2。（结束）。

%F From _Peter Bala，2023年10月29日：（开始）

%F zeta（3）=（8/45）*Integral_{x>=1}x^3*log（x）^3*（1+log（x））*log。

%F zeta（5）=131/128+26*Sum_{n>=1}（n^2+2*n+40/39）/（n*（n+1）*（n+2））^5。

%F zeta（5）=5162893/4976640-1323520*和{n>=1}（n^2+4*n+56288/12925）/（n*（n+1）*（n+2）*（n+3）*。取序列的10项，得到zeta（5）的值，精确到小数点后20位。

%F猜想：对于k>=1，存在有理数A（k）、B（k）和c（k），使得zeta（5）=A（k*（n+2*k）^5。对于常数zeta（3）也可以作出类似的推测。（结束）

%F zeta（5）=（694/204813）*Pi^5-和{n>=1}（6280/3251）*（1/（n^5*（exp（4*Pi*n）-1））+和{n>=1}（296/3251）*{n>=1}（37/6502）*（1/（n^5*（exp（20*Pi*n）-1））_Simon Plouffe，2024年1月6日

%e 1/1^5+1/2^5+1/3^5+1/4^5+1/5^5+1/6^5+1/7^5+=

%e 1+1/32+1/243+1/1024+1/3125+1/7776+1/16807+…=1.036927755143369926331365486457...

%t真实数字[Zeta[5]，10，100][[1]（*_Alonso del Arte_，2012年1月13日*）

%o（PARI）zeta（5）\\马库斯，2016年4月17日

%Y参见A002117、A013667、A013669、A013671、A013675、A013677、A243264、A255323。

%Y参见A023872、A023873、A248882、A255050、A255052、A057528、A260404。

%K nonn，cons公司

%氧1,3

%A _N.J.A.斯隆_