%I#74 2024年1月8日22:42:15

%S 0,1，-1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,1,1,11,1,1,1,1,1,1，1,1,1,1，-1,1,1,1,1,1,0,0,1,1，

%温度0,0,1,0,0,1,1，-1,1，-1,1,1,1,1,1,1,1,1,1，

%U 1,1,1,1,1,1,1,1,1，-1,1，-1，-1，-1,1,1，-1,0,1，-1,1,0，-1,1

%N按行读取的不规则三角形：分圆多项式Phi_N（x）的系数（指数按递增顺序排列）。

%C我们遵循Maple将Phi_0定义为x；它也可以被认为是1。

%C From _Wolfdieter Lang，2013年10月29日：（开始）

%C本表第n>=1行的长度为φ（n）+1=A000010（n）+1。行n=0的长度为2。

%C Phi_n（x）是有理数上ω_n:=exp（i*2*Pi/n）的最小多项式。即Phi_n（x）=产品{k=0..n-1，gcd（k，n）=1}（x-（omega_n）^k）。参见Graham等人的参考文献，4.50 a，第149、506页。

%C Phi_n（x）=Product_{d|n}（x^d-1）^（mu（n/d）），Moebius函数mu（n）=A008683（n），n>=1。参见Graham等人的参考文献，4.50 b，第149、506页。

%C Phi_n（x）=Phi_{rad（n）}（x^（n/rad（n））），n>=2，其中rad（n=A007947（n），n的无平方核。根据前面的公式证明，其中只有n除数集的无平方n/d（A005117）进入，方法是将左侧的每个因子（分子或分母）映射到右侧的一个因子，反之亦然。

%C（结束）

%C每一行可视为分圆多项式伴随矩阵的最后一列：A000010（n）是这样一个方阵的大小，最后一列有相反的符号，最后一项（在A013595中每一行的最后一项之前）等于A008683（n）_Eric Desbiaux，2015年12月14日

%D E.R.Berlekamp，代数编码理论，McGraw-Hill，1968年；见第90页。

%D Z.I.Borevich和I.R.Shafarevich，数论。纽约学术出版社，1966年，第325页。

%D R.L.Graham、D E.Knuth和O.Patashnik，《混凝土数学》，艾迪生-韦斯利出版社，1991年，第137页。

%D·K·爱尔兰和M·罗森，《现代数论经典导论》，斯普林格出版社，1982年，第194页。

%H Robert Israel，n的表，a（n）表示n=0..10000</a>

%H Emma Lehmer，<a href=“http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9904-1936-06309-3“>关于分圆多项式系数的大小，Bull.Amer.Math.Soc.42（1936），389-392。

%H Rakshith Rajashekar，Marco Di Renzo，K.V.S.Hari，L.Hanzo，<a href=“https://eprints.soton.ac.uk/414186/1/Full_duplex_SM_Drones.pdf“>反馈辅助MIMO系统的通用发射和接收分集条件：全双工空间调制的理论与应用，2017年。

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/CyclotomicPolynomial.html“>分圆多项式</a>。

%H维基百科，<a href=“https://en.wikipedia.org/wiki/Cyclotomic_polynomial网站“>分圆多项式</a>。

%F a（n，m）=[x^m]Phi_n（x），n>=0，0<=m<=Phi（n），其中Phi（n）=A0000010（n）。-_Wolfdieter Lang，2013年10月29日

%e Phi_0=x；Phi_1=x-1；Phi_ 2=x+1；Phi_3=x^2+x+1；Phi_4=x^2+1。。。

%e摘自Wolfdieter Lang，2013年10月29日：（开始）

%e不规则三角形a（n，m）开始于：

%电子邮箱0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12。。。

%e 0:0 1

%e 1:-1 1

%e 2：1 1个

%电子3:1 11

%e 4:1 0 1

%e 5:11 11 11

%e 6:1-1 1

%e 7:11 11 11

%e 8:1 0 0 0 1

%电子邮箱9:10 0 1 0 0 1

%e 10:1-1 1-1 1

%e 11:1 1 1 1 1 11 1 1 1

%e 12:10-1 0 1

%e 13:1 11 11 11 11 1 1 1 1 11 1 1

%e 14:1-1 1-1 1-1 1

%电子15：1-1 0 1-1 1 0-1 1

%e。。。

%e Phi_15（x）=（x^1-1）*（x^3-1）^（-1））*（（x^5-1）。因此，Phi_15（x）=1-x+x^3-x^4+x^5-x^7+x^8，给出行n=15。

%e通过无平方核的还原示例：Phi_12（x）=Phi_6（x^（12/6））=Phi _6（x^2）。根据莫比乌斯函数Phi_6（x）=Phi_2（x^3）/Phi_2（x）=1-x+x^2的公式，如果x->x^2，则变为Phi_12（x）=1-x^2+x^4。

%e（结束）

%p N:=100:#以获得系数（N，x）

%p（数字理论）：

%p代表n从0到n do

%p C：=分圆（n，x）；

%p L[n]：=seq（系数（C，x，i），i=0..度（C））；

%日期：

%p A:=[seq]（L[n]，n=0..n）：#注意A013595（n）=A[n+1]

%2014年4月17日，p#_Robert Israel

%t表[系数列表[x^KroneckerDelta[n]分圆[n，x]，{n，0，15}]//展平（*_Peter Luschny_，2016年12月27日*）

%o（PARI）行（n）=如果（n==0，p=x，p=polcyclo（n））；Vecrev（p）；\\_Michel Marcus，2015年12月14日

%Y参考A013596、A020500（行总和，n>=1）、A020513（交替行总和）。

%Y有关记录系数，请参见A160340、A262404、A26240、A278567。

%Y列m=1为A157657。

%K符号，简单，漂亮，tabf

%O 03440号

%A _N.J.A.斯隆_

%E Maple程序由_Robert Israel_修订，2014年4月17日