%I#224 2024年2月1日02:47:47

%S 0,0,1,1,3,3,4,4,7,7,8,8,10,10,11,15,16,18,18,19,19,22,23，

%电话23,25,25,26,26,31,31,32,34,35,38,38,39,39,41,42,46,46，

%U 47,47,49,49,50,53,54,54,56,56,57,57,63,64,66,66,67,70

%N a（N）=N减（N的二进制展开式中的1个数）。也是2除以n！的最高幂！。

%C重复A005187条款。-_Lekraj Beedassy，2004年7月6日

%C这个序列说明了为什么在二进制中0和1是唯一的两个数字n，使得n等于其连续幂的位数之和（相当于以10为基数的序列A032799）。提升到任意连续幂的1仍然是1，因此任何n>1提升到连续幂的任何数字之和都不等于该序列第n项的n值_阿隆索·德尔·阿特（Alonso del Arte），2004年7月27日

%C也是n！.-的base-2表示中的尾随零数_Hieronymus Fischer_，2007年6月18日

%C A007814的部分总和。-_Philippe Deléham，2012年6月21日

%C如果n在A089633中且n>0，则a（n）=n-楼层（log_2（n+1））_道格拉斯·拉蒂默，2012年7月25日

%C对于n>1，o.g.f.1/sqrt（1-t*x+x^2）的勒让德多项式的积分分子多项式L（n，x）的分母_汤姆·科普兰，2016年2月4日

%这个序列的定义解释了为什么n>1时，2除以n的最大幂！在n的二进制展开中加上1等于n。这个结果是由法国数学家阿德里安·勒让德（1752-1833）得出的[见Honsberger参考文献]_伯纳德·肖特，2017年4月7日

%C a（n）是前n个正整数的素因式分解中2的总数。整数n的因式分解中2的期望值为1（作为n->无穷大）。通常，p的期望数（对于素数p）是1/（p-1）_Geoffrey Critzer，2017年6月5日

%D K.Atanassov，《关于Smarandache的一些问题》，第61个问题第7节，第42页，美国研究出版社，1999年，16-21。

%D G.Bachman，《p-Adic数与估值理论导论》，学术出版社，1964年；参见引理3.1。

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%D H.Davenport，《高等算术》，第7版，1999年，剑桥大学出版社，第216页，练习1.07。

%D R.Honsberger，《数学宝石II》，Dolciani数学博览会，1976年，第1-6页。

%H Hieronymus Fischer，n表，n=0..100000时的a（n）

%H Laurent Alonso、Edward M.Reingold和RenéSchott，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/0020-0190（93）90135-V“>确定多数</a>，《通知程序》，Lett.47（1993），第5期，253-255。

%H Laurent Alonso、Edward M.Reingold和RenéSchott，<a href=“http://dx.doi.org/10.1137/S0097539794275914“>确定多数的平均案例复杂性，SIAM J.Compute.26（1997），第1期，第1-14页。

%H Sung-Hyuk Cha，<a href=“http://www.wseas.us/e-library/conferences/2012/CambridgeUSA/MATHCC/MATHCC-60.pdf“>关于从平衡k元树导出的整数序列，电气与计算机工程应用数学，2012年。

%H Sung-Hyuk Cha，<a href=“http://naun.org/multimedia/UPress/ami/16-125.pdf“>关于完全和大小平衡的k元树整数序列，国际应用数学和信息学杂志，2012年第6卷第2期，第67-75页发件人：N.J.A.Sloane，2012年12月24日

%H R.Hinze，<a href=“https://www.cs.ox.ac.uk/people/ralf.hinze/publications/CSC.pdf“>《混凝土流演算：扩展研究》，J.Funct.Progr.20（5-6）（2010）463-535，<a href=”https://doi.org/10.1017/S0956796810000213“>doi</a>，第4.4节。

%H Keith Johnson和Kira Scheibelhut，<a href=“http://www.jstor.org/stable/10.4169/amer.math.monthly.123.4.338“>采用斐波那契数列整数值的有理多项式，美国数学月刊123.4（2016）：338-346。参见omega_2。

%H S-C Liu和J.C.-C.Yeh，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL13/Liu2/liu6.html“>加泰罗尼亚数模2^k</a>，J.Int.Seq.13（2010），10.5.4，eq.（5）。

%H K.Matthews，<a href=“http://www.numbertheory.org/php/factual.html“>计算n！</a>的素数幂因子分解。

%H A.Mir、F.Rossello和L.Rotger，<A href=“http://arxiv.org/abs/1202.1223“>一个新的系统发育树平衡指数</A>，arXiv预印本arXiv:12012.1223[q-bio.PE]，2012。

%H A.M.Oller-Marcen和J.Maria Grau，<A href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL14/Oller/oller3.html“>《关于b^k！尾随零点数的基数b展开》，《国际期刊》第14期（2011年）第11.6.8页。

%H Michael E.Saks和Michael Werman，<a href=“http://dx.doi.org/10.1007/BF01275672“>关于通过比较计算多数</a>，组合数学11（1991），第4期，383-387。

%H Ralf Stephan，一些分治序列</a>

%H Ralf Stephan，生成函数表。

%H Zhujun Zhang，<a href=“https://www.researchgate.net/publication/333261503_A_Note_on_Counting_Binnominal_Heaps网站“>关于计算二项式堆的注释，ResearchGate（2019）。

%F a（n）=a（楼层（n/2））+楼层_Henry Bottomley，2001年4月24日

%计算公式：A（x）=（1/（1-x））*和{k>=1}x^（2^k）/（1-x^_Ralf Stephan，2002年4月11日

%F a（n）=n-A000120（n）.-_Lekraj Beedassy，2003年9月1日

%F a（n）=A005187（n）-n，n>=0。

%F a（n）=A007814（A000142（n））_Reinhard Zumkeller_，2004年4月9日

%F摘自2007年6月25日和8月13日的《费舍尔黄杨》：（开始）

%F a（n）=求和{k=2..n}求和{j|k，j>=2}（楼层（log_2（j））-楼层（log_（j-1）））。

%F g.F.可以用Lambert级数表示，其中g（x）=L[b（k）]（x）/（1-x），式中

%F L[b（k）]（x）=和{k>=0}b（k。

%F G.F.：G（x）=（1/（1-x））*Sum_{k>0}c（k）*x^k，其中c（k。

%F重复：

%F a（n）=楼层（n/2）+a（楼层（n/3））；

%F a（2*n）=n+a（n）；

%F a（n*2^m）=n*（2^m-1）+a（n）。

%Fa（2^m）=2^m-1，m>=0。

%F渐近行为：

%F a（n）=n+O（log（n）），

%F a（n+1）-a（n）=O（log（n）），由以下不等式得出。

%F a（n）<=n-1；2的权力是平等的。

%F a（n）>=n-1-楼层（log_2（n））；等式适用于n=2^m-1，m>0。

%F lim-inf（n-a（n））=1，对于n->oo。

%F lim-sup（n-log_2（n）-a（n））=0，对于n->oo。

%对于n->oo，F lim sup（a（n+1）-a（n）-log_2（n））=0。（结束）

%F a（n）=和{k>=0}A030308（n，k）*A000225（k）_菲利普·德雷厄姆，2011年10月16日

%F a（n）=和{k=0..floor（log_2（n+1））}F^（k+1）（n），其中F（n）＝（n-（n mod 2））/2和F^

%e a（3）=1，因为二进制中的3是11（两个1），并且3-2=1。

%e a（4）=3，因为二进制中的4是100（1和2个0），并且4-1=3。

%e a（5）=3，因为二进制中的5是101（两个1之间的零），而5-2=3。

%e a（100）=97。

%e a（10^3）=994。

%e a（10^4）=9995。

%e a（10^5）=99994。

%e a（10^6）=99999 3。

%e a（10^7）=9999992。

%e a（10^8）=999999 88。

%e a（10^9）=9999999 87。

%e G.f.=x ^2+x ^3+3*x ^4+3*x^5+4*x ^6+4*x^7+7*x ^8+7*x^9+8*x ^10+。。。

%p A011371（n）=返回（（2^（l））-1）+总和（'（j*楼层（（n-（2^l）+2^j）/（2^j+1））'，'j'=1..l））；#继K.Atanassov之后。这里的l是[log2（n）]。

%p A011371:=n->n-添加（i，i=转换（n，基数，2））：#_Peter Luschny_，2009年5月2日

%p读取（“转换”）：A011371：=过程（n）n-wt（n）；结束程序：#R.J.Mathar，2013年5月15日

%t-1+长度[Last[Split[Integer Digits[2（n！），2]]]，FoldList[Plus，0，Fold[Flatten[{#1，#2，#1}]&，0，Range[6]]

%t表[IntegerExponent[n！，2]，{n，0，127}]

%t表[n-数字计数[n，2，1]，{n，0，127}]

%t表[t=0；p=2；而[s=楼层[n/p]；t=t+s；s>0，p*=2]；t、 {n，0，100}]

%o（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，赋值（n！，2））}；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2002年10月24日*/

%o（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，和（k=1，n，n \ 2^k））}；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2002年10月24日*/

%o（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，n-子集（Pol（二进制（n），x，1））}；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2007年8月28日*/

%o（PARI）a（n）=sum（k=1，log（n+1）\log（2），n>>k）\\_Charles R Greathouse IV_，2012年10月3日

%o（PARI）a（n）=我的（s）；而（n>>=1，s+=n）；2013年8月9日，夏尔斯R Greathouse IV

%o（PARI）a（n）=n-重量（n）；\\_Michel Marcus，2014年6月5日

%o（岩浆）[估值（因子（n），2）：n in[0..80]]；//_Bruno Berselli，2013年8月5日

%o（哈斯克尔）

%o a011371 n=n-a000120 n--_Reinhard Zumkeller_，2014年1月24日

%o（Python）[n-bin（n）[2:].count（“1”）for n in range（101）]#_Indranil Ghosh_，2017年4月9日

%o（Python）#3.10+

%o定义A011371（n）：返回n-n.bit_count（）#_Chai Wah Wu_，2022年7月9日

%Y参见A000120、A005187、A054861、A032799、A067080、A098844、A132027。

%Y a（n）=和{k=1..n}A007814（k），n>=1，a（0）=0。

%K nonn，很好，很容易

%0、5

%A _N.J.A.斯隆_

%E Heronymus Fischer添加的示例，2012年6月6日