%I#141 2023年11月3日11:07:45

%S 0,2,3,2,5,5,7,2,3,13,7,11,5,13,9,8,2,17,5,19,7,10,13,23,5,5,15,3,9,19，

%T 10,31,2,14,19,12,5,37,21,16,7,41,12,43,13,8,25,47,5,7,7,20,15,53,5，

%U 16,9,22,31,59,10,61,33,10,2,18,16,67,19,26,14,71,5,73

%不同素数除以N的和。

%C有时称为sopf（n）。

%C素数之和除以n（无重复）（比较A001414）。

%C等于A051731*A061397=[0，2，3，0，5，0，7，…]的逆Mobius变换_Gary W.Adamson_，2008年2月14日

%C等于三角形A143535的行和。-_Gary W.Adamson_，2008年8月23日

%C a（n）=n当且仅当n是素数_Daniel Forgues_，2009年3月24日

%C a（n）=n是新记录当且仅当n是素数_Zak Seidov，2009年6月27日

%Ca（A001043（n））=A191583（n）；

%C对于n>0：a（A00079（n））=2，a（A000244（n））=3，a（A000351（n））=5，a（A0000420（n））=7；

%Ca（A006899（n））<=3；a（A003586（n））=5；a（A033846（n））=7；a（A033849（n））=8；a（A033847（n））=9；a（A033850（n））=10；a（A143207（n））=10_Reinhard Zumkeller，2011年6月28日

%C对于n>1:a（n）=总和（A027748（n，k）:1<=k<=A001221（n））_Reinhard Zumkeller，2011年8月27日

%C如果n是双素数（A037074）的乘积，a（n）=2*sqrt（n+1）=sqrt_韦斯利·伊万·赫特，2013年9月7日

%C From_Wilf A.Wilson_，2017年7月21日：（开始）

%C a（n）+2，n>2，是一个含有n个元素的集上的定向保或逆映射的幺半群的最大子半群的个数。

%C a（n）+3，n>2，是具有n个元素的集上的定向保或逆部分映射的幺半群的最大子半群的个数。

%C（结束）

%C使a（m）=n的最小m，或如果不存在该数字m，则为0，即A064502（n）。唯一不在序列中的整数是1、4和6_伯纳德·肖特，2022年2月7日

%H Daniel Forgues，n表，n=1..100000的a（n）（前10000个术语来自Franklin T.Adams-Waters）

%H Johann Bartel、R.K.Bhaduri、Matthias Brack和M.V.N.Murthy，<a href=“https://arxiv.org/abs/1609.06497“>关于整数的渐近素分划，arXiv:1609.06497[math-ph]，2017。

%H James East、Jitender Kumar、James D.Mitchell和Wilf A.Wilson，<A href=“https://arxiv.org/abs/1706.04967“>有限变换和划分幺半群的极大子半群，arXiv:1706.04967[math.GR]，2017。[_Wilf A.Wilson_，2017年7月21日]

%F设n=Product_j素数（j）^k（j），其中k（j。

%F添加剂，a（p^e）=p。

%F G.F.：和{k>=1}素数（k）*x^素数_富兰克林·亚当斯·沃特斯，2009年9月1日

%F L.g.F.：-log（Product_{k>=1}（1-x^prime（k）））=Sum_{n>=1}a（n）*x^n/n.-Ilya Gutkovskiy_，2017年5月6日

%F Dirichlet g.F.：质数（s-1）*质数_Benedict W.J.Irwin，2018年7月11日

%F a（n）=Sum_{p|n，p prime}p.-Wesley Ivan Hurt_，2022年2月4日

%F From _Bernard Schott_，2022年2月7日：（开始）

%F对于n>0：a（A001020（n））=11，a（A001022（n）]=13，a（P001026（n））=17，a（C001029（m））=19，a（AO09967（n）”=23，a“（A009973（n）。

%F对于p奇素数，对于n>1，a（2*p）=p+2<===>a（A100484（n））=A052147（n）。（结束）

%e a（18）=5，因为18=2*3^2和2+3=5。

%e a（19）=19，因为19是素数。

%e a（20）=7，因为20=2^2*5和2+5=7。

%p A008472:=n->add（d，d=select（i素数，numtheory[除数]（n）））：

%p序列（A008472（i），i=1..40）；#_Peter Luschny_，2012年1月31日

%p A008472：=程序（n）

%p加（d，d=numtheory[factorset]（n））；

%p end程序：#_R.J.Mathar_，2012年7月8日

%t前缀[Array[Plus@@First[Transpose[FactorInteger[#]]&，100，2]，0]

%t Join[{0}，Rest[Total[Transpose[FactorInteger[#]][[1]]&/@Range[100]]（*哈维·P·戴尔，2012年6月18日*）

%t（*需要7.0+*版）表[DivisorSum[n，#&，PrimeQ[#]&]，{n，75}]（*_Alonso del Arte_，2014年12月13日*）

%t表[Sum[p，{p，Select[Divisors[n]，PrimeQ]}]，{n，1，100}]（*_Vaclav Kotesovec_2020年5月20日*）

%o（PARI）sopf（n）=局部（fac=因子（n））；总和（i=1，矩阵大小（fac）[1]，fac[i，1]）

%o（PARI）向量（100，n，vecsum（因子（n）[，1]~））\\_Derek Orr_2015年5月13日

%o（PARI）A008472（n）=vecsum（因子（n）[，1]）\\ M.F.Hasler_，2015年7月18日

%o（鼠尾草）

%o定义A008472（n）：

%o如果是素数（d），则返回加法（d代表除数（n）中的d）

%o打印（[A008472（i）for i in（1..40）]）#_Peter Luschny_，2012年1月31日

%o（Sage）[sum（prime_factors（n））for n in range（1,74）]#_Giuseppe Coppoletta_，2015年1月19日

%o（哈斯克尔）

%o a008472=总和。a027748_现在--_Reinhard Zumkeller_，2012年3月29日

%o（Magma）[n eq 1 select 0 else&+[p[1]：p in Factorization（n）]：n in[1..100]]；//_Vincenzo Librandi_，2017年6月24日

%o（Python）

%o来自sympy导入因子

%o定义A008472（n）：返回和（素数（n））#_Chai Wah Wu_，2022年2月3日

%Y A024924的第一个差异。

%Y参见A001414（sopfr）、A001222、A051731、A061397、A064502、A085020、A143535。

%Y素数除以n的k次幂之和，k=0..10:A001221（k=0），这个序列（k=1），A005063（k=2），A0105064（k=3），A00.5065（k=4），A351193（k=5），A351 194（k=6），A35 1195（k=7），这个顺序（k=8），A351097（k=9），A351298（k=10）。

%K nonn，很好，很容易

%O 1,2号机组

%A _利维尔·杰拉德_