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%I M4503#148 2022年10月21日10:07:24
%S 0,1,8,28,64126243445127571008133217922198275235284096，
%电话：4914605668608064963210656121681433615751175842044022016，
%电话：243902822429792327683729639312434848448850654548806154464512
%N傅里叶系数E_{无穷大，4}。
%CE_{infinity，4}是Gamma_0（2）在i*无穷大处具有简单零的唯一归一化weight4模形式。由于它有2级，与A002408相比，它不是尖点形状。
%C a（n+1）是n的表示数，表示为8个三角形数之和（来自A000217）。参见Ono等人的链接，定理5。
%C Ramanujan theta函数：f（q）（见A121373）、phi。
%C a（n）给出n的除数d的立方和，使得n/d是奇数。这在Ono等人的链接中称为sigma ^#_3（n）。请参阅下面的公式_Wolfdieter Lang，2017年1月12日
%D B.C.Berndt，Ramanujan笔记本第三部分，Springer-Verlag，见第139页，Ex（ii）。
%D N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
%H Seiichi Manyama，n表，n=0..100000的a（n）（T·D·Noe的术语0..1001）
%H B.Brent，<a href=“http://projecteuclid.org/euclid.em/1047674207“>二次极小与模形式，实验数学，v.7 no.3，257-274。
%H H.H.Chan和C.Kreattehaler，<a href=“https://arxiv.org/abs/math/0407061“>整数表示为平方和的最新研究进展，arXiv:math/0407061[math.NT]，2004。
%H J.H.Conway和N.J.A.Sloane，<A href=“http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4757-2016-7“>《球形填料、晶格和组》，Springer-Verlag，第187页。
%H J.W.L.Glaisher，<a href=“https://books.google.com/books？id=bLs9AQAAMAAAJ&pg=RA1-PA1“>关于数字表示为二、四、六、八、十和十二个方块之和，Quart.J.Math.38（1907），1-62（见第4页和第8页）。
%小池正雄，<a href=“https://oeis.org/A004016/A004016.pdf“>非紧致算术三角形群上的模形式</a>，未发表的手稿[由N.J.a.Sloane用OEIS a-number扩展注释，2021年2月14日。我在第一页写的是2005年，但内部证据表明是1997年。]
%H K.Ono、S.Robins和P.T.Wahl，<a href=“https://www.researchgate.net/publication/227141445_On_the_representation_of_integer_as_sum_of_triangular_numbers“>关于整数表示为三角数之和，Aequationes mathematicae，1995年8月，第50卷，第1-2期，第73-94页。定理5。
%H H.Rosengren，<a href=“https://arxiv.org/abs/math/0504272“>Frobenius行列式的三角形数之和，arXiv:math/0504272[math.NT]，2005。
%H<a href=“/index/Ge#Glaisher”>为Glaisher</a>提到的序列索引条目。
%F G.F.：q*产品_{k>=1}（1-q^k）^8*（1+q^k）^16.-2015年10月14日，由_Vaclav Kotesovec_更正
%F a（n）=Sum_{0<d|n，n/d奇数}d^3。[上光器]
%F G.F.：和{n>0}n^3*x^n/（1-x^（2*n））_Vladeta Jovovic_，2002年10月24日
%F雅可比θ常数θ_2（q）^8/256的q次幂展开。
%F扩展eta（q^2）^16/eta（q）^8的q.-Michael Somos_幂，2005年5月31日
%F x*psi（x）^8的x次方展开，其中psi（）是Ramanujanθ函数。-_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2012年1月15日
%F（Q（x）-Q（x^2））/240的x次幂展开式，其中Q（）是Ramanujan Lambert级数_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2012年1月15日
%F E_{gamma，2}^2*E_{0,4}的q次幂展开。
%周期2序列的F Euler变换[8，-8，…].-_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2005年5月31日
%F G.F.A（x）满足0=F（A（x，A（x^2），A（x ^4）），其中F（u，v，w）=v^3-u^2*w+16*u*v*w-32*v^2*w+256*v*w ^2_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2005年5月31日
%F G.F.是周期1傅里叶级数，满足F（-1/（2 t））=16^（-1）（t/i）^4 G（t），其中q=exp（2 Pi it），G（）是A035016的G.F.-_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2009年1月11日
%F与a（2^e）=2^（3e）相乘，a（p^e）=（p^（3（e+1））-1）/（p^3-1）_米奇·哈里斯，2005年6月13日
%F A001158对A154955的Dirichlet卷积。Dirichlet g.f.zeta（s）*zeta（s-3）*（1-1/2^s）_R.J.Mathar，2011年3月31日
%F A002408（n）=-（-1）^n*a（n）。
%F A008438的卷积平方。-_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2014年6月15日
%F a（1）=1，a（n）=（8/（n-1））*和{k=1..n-1}A002129（k）*a（n-k）对于n>0.-_Seiichi Manyama，2017年5月6日
%F和{k=1..n}a（k）~c*n^4，其中c=Pi^4/384=0.253669…（A222072）.-_Amiram Eldar，2022年10月19日
%e G.f.=q+8*q^2+28*q^3+64*q^4+126*q^5+224*q^6+344*q^7+512*q^8+。。。
%p nmax:=40:seq（系数（系列（x*（乘积（（1-x^k）^8*（1+x^k，^16，k=1..nmax）），x，n+1），x、n），n=0..nmax）；#_Vaclav Kotesovec_，2015年10月14日
%t前缀[表[Plus@@（选择[Divisors[k+1]，OddQ[（k+1）/#]&]^3），{k，0，39}]，0]（*_Ant King_，2010年12月4日*）
%t a[n_]：=级数系数[椭圆θ[2，0，q^（1/2）]^8/256，{q，0，n}]；（*迈克尔·索莫斯，2013年6月4日*）
%t a[n_]：=如果[n<1，0，和[d^3 Boole[OddQ[n/d]]，{d，除数[n]}]]；（*迈克尔·索莫斯，2013年6月4日*）
%t f[n_]：=总计[（2n/选择[除数[2n]，Mod[#，4]==2&]）^3]；扁平[{0，数组[f，40]}]（*_Robert G.Wilson v_，2015年3月26日*）
%t nmax=60；系数列表[系列[x*产品[（1-x^k）^8*（1+x^k，^16，{k，1，nmax}]，{x，0，nmax{]，x]（*_Vaclav Kotesovec_，2015年10月14日*）
%t QP=Q手锤；s=q*（QP[-1，q]/2）^16*QP[q]^8+O[q]*50；系数表[s，q]（*_Jean-François Alcover_，2015年12月1日，改编自PARI*）
%o（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，sumdiv（n，d，（n/d%2）*d^3））}；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2005年5月31日*/
%o（PARI）{a（n）=局部（a）；如果（n<1，0，n--；a=x*o（x^n）；极系数（（eta（x^2+a）^2/eta（x+a））^8，n））}；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2005年5月31日*/
%o（PARI）a（n）=我的（e=估价（n，2））；2014年9月9日，8^e*sigma（n/2^e，3）\\_Charles R Greathouse IV_
%o（Sage）模块形式（Gamma0（2），4，prec=33）。1；#_Michael Somos，2013年6月4日
%o（岩浆）基础（模块形式（伽马射线（2）、4）、10）[2]；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2014年5月27日*/
%o（Python）
%o来自sympy导入除数
%o定义a（n）：
%如果n==0，则o返回0，否则求和（（（n//d）%2）*d**3表示除数（n）中的d）
%o打印（[a（n）代表范围（101）内的n）]#_Indranil Ghosh，2017年6月24日
%Y参见A002408、A004017、A035016、A045825、A076577、A096960、A222072。
%Y将n写成k个三角形数之和的方式数量，对于k=1，…：A010054、A008441、A00844、A008438、A00843、A008440、A226252、A007331、A22625、A226255、A014787、A014809、A076577。
%放松，好，不，多
%0、3
%A _N.J.A.Sloane，_Mira Bernstein_
%E来自Barry Brent（barryb（AT）primenet.com）的附加评论
%E错误的Maple程序被_Vaclav Kotesovec_取代，2015年10月14日
%E a（0）=0由_Vaclav Kotesovec_于2015年10月14日添加
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