%I M5157#79 2023年10月29日21:28:54

%S 1，-24276，-204811202，-49152184024，-6144001881471，-5373952，

%电话：14478180，-3712204891231550，-216072192495248952，-1102430208，

%U 2390434947，-506147635210487167336，-2130124185642481784514，-83300614144

%N McKay-Thompson系列，2B类，用于（0）=-24的Monster组。

%C Ramanujan theta函数：f（q）（见A121373）、phi。

%C设t（q）=（eta（q）/eta（q^2））^24=1/q-24+276q-2048q^2+。。。如果j（q）是系数为A000521的j变量的q序列，则j（q）=（t+256）^3/t^2 j（q^2）=（t+16）^3/t。因此，t可用于参数化经典模曲线X0（2）_吉恩·沃德·史密斯（Gene Ward Smith），2006年8月4日

%C发件人：Gary W.Adamson_，2009年6月6日：（开始）

%C等于（1/q）*A161195的卷积平方：（1，-12，66，-232，639，…）

%C和三角形A161196的行和。（结束）

%C给定g.f.A（q），Greenhill（1895）在第409页的方程式（43）中用tau_oo表示-1/64*A（q_Michael Somos，2013年7月17日

%D J.H.Conway和S.P.Norton，《大月亮》，公牛出版社。伦敦。数学。《社会分类》第11卷（1979）308-339页。

%D R.Fricke，Die elliptischen Funktitionen und ihre Anwendungen，Teubner，1922年，第2卷，见第371页。公式（1）

%D A.G.Greenhill，《椭圆函数的变换和划分》，《伦敦数学学会学报》（1895）403-486。

%D G.Hoehn，《自位顶点算子超代数与Babymonster》，Bonner Mathematische Schriften，第286卷（1996年），第1-85页。

%D·J·麦凯和H·施特劳斯，可怕的月光和头部人物的分解的q系列。《公共代数》18（1990），第1期，253-278。

%D S.Ramanujan，Srinivasa Ramanujan论文集的模块方程和π的近似，第23-39页，编辑G.H.Hardy等人，AMS Chelsea 2000。见第26页。

%D N.J.A.斯隆和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

%H Seiichi Manyama，<a href=“/A007191/b007191.txt”>n表，n=-1..5000的a（n）

%H R.E.Borcherds，<a href=“http://www.math.berkeley.edu/~reb/papers/“>《怪兽李代数导论》，M.Liebeck和J.Saxl的99-107页，编辑，群，组合数学和几何（达勒姆，1990年）。伦敦数学社会法律注释165，剑桥大学出版社，1992年。

%H B.Brent，<a href=“http://www.emis.de/journals/EM/expmath/volumes/7/7.html“>二次极小与模形式，实验数学，v.7 no.3，257-274。

%H D.Ford、J.McKay和S.P.Norton，<a href=“http://dx.doi.org/101080/00927879408825127“>关于可复制函数的更多信息，《公共代数》22，第13期，5175-5193（1994）。

%H G.Hoehn（gerald（AT）math.ksu.edu），《自选顶点算子超代数和Babymonster》，波恩大学博士论文，1995年7月15日（<a href=“http://www.math.ksu.edu/~gerald/papers/dr.pdf“>pdf，<a href=”http://www.math.ksu.edu/~gerald/papers/dr.ps.gz“>ps</a>）。

%H Michael Somos，给N.J.a.Sloane的电子邮件，1993年</a>

%H Michael Somos，《Ramanujan theta函数简介》</a>

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/RamanujanThetaFunctions.html“>Ramanujan Theta函数</a>

%H<a href=“/index/Gre#groups”>为与组相关的序列索引条目</a>

%H<a href=“/index/Mat#McKay_Thompson”>Monster简单组的McKay-Thompson系列索引条目</a>

%传真：（1/x）（产品{k>0}1/（1+x^k））^24。

%F G.F.：（1/q）（Product_{k>0}（1-q^（2*k-1）））^24=64*（G_n）^24，其中q=e^（-Pi-sqrt（n）），G_n是Ramanujan的类不变量。

%F（eta（q）/eta（q^2））^24.-_吉恩·沃德·史密斯（Gene Ward Smith），2006年8月4日

%F q^（-1）*chi（-q）^24的q次幂展开式，其中chi（）是Ramanujanθ函数_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2007年8月19日

%周期2序列的F Euler变换[-24，0，…]_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2007年8月19日

%F（1-λ（t））/（λ（t）/16）^2的q=exp（2 Pi it）幂展开式，其中λ（）是椭圆模函数A115977_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2007年8月19日

%F 64τ（ω）以q=exp（2πiω）的幂展开，其中τ（）是第371页方程式（1）中的Fricke函数_Michael Somos，2012年6月12日

%F G.F.A（x）满足0=F（A（x（x），A（x^2）），其中F（u，v）=u^2*v-v^2+48*u*v+4096*u.-Michael Somos_，2007年8月19日

%F G.F.是周期1傅里叶级数，满足F（-1/（2 t））=4096 G（t），其中q=exp（2 Pi it），G（）是A014103的G.F.-_Michael Somos_，2007年8月19日

%F a（n）=-（-1）^n*A097340（n）。A007246（n）=a（n），除非n=0。

%F A014103的卷积逆。

%F a（n）~-（-1）^n*exp（2*Pi*sqrt（n））/（2*n^（3/4））_瓦茨拉夫·科泰索维奇，2015年8月27日

%对于n>-1，F a（-1）=1，a（n）=-（24/（n+1））*Sum_{k=1..n+1}A000593（k）*a（n-k）_Seiichi Manyama，2017年3月29日

%e.G.f.=1/q-24+276*q-2048*q^2+11202*q^3-49152*q^4+184024*q^5-。。。

%t a[n_]：=级数系数[QPochhammer[q，q^2]^24/q，{q，0，n}]；（*迈克尔·索莫斯，2011年7月11日*）

%t a[n_]：=系列系数[乘积[1-q^k，{k，1，n+1，2}]^24/q，{q，0，n}]；（*迈克尔·索莫斯，2011年7月11日*）

%t a[n_]：=使用[{m=模块λ[Log[q]/（Pi I）]}，系列系数[（1-m）/（m/16）^2，{q，0，2n}]]；（*迈克尔·索莫斯，2011年7月11日*）

%t a[n_]：=具有[{m=反椭圆NomeQ@q}，级数系数[（1-m）/（m/16）^2，{q，0，2n}]]；（*迈克尔·索莫斯，2011年7月11日*）

%o（PARI）{a（n）=如果（n<-1，0，n++；polceoff（prod（k=1，n，1+x^k，1+x*o（x^n））^-24，n））}；

%o（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<-1，0，n++；a=x*o（x^n）；polceoff（（eta（x+a）/eta（x^2+a））^24，n））}；

%Y A134786、A045479、A007191、A097340、A035099、A007246、A107080基本上都是相同的序列。

%Y参见A161195、A161196、A014103、A115977。

%K符号，简单，好

%O-1、2

%A _N.J.A.斯隆_