|
%I M4593#227 2024年6月21日08:32:02
%S 9,1,5,9,6,5,5,9，4,1,7,7，2,1,1,9,0,1,5,1,4,6,0,3,5,14,9,3,8,4,1，
%T 1,0,7,7,4,1,4,9,3,7,4,2,8,1,6,7,2,1,3,4,2,6,4,8,1,1,9,6,2,1,7,6，
%U 3,0,1,9,7,7,6,2,5,4,7,6m,9,4,6,7,9,3,5,6,5,1,2,9,2,6,1,5,10,6,4,8,5,7,4
%加泰罗尼亚常数的十进制展开式1-1/9+1/25-1/49+1/81-。。。
%C通常用G表示。
%C第k个附加项为2*3**（2+k-2）*2^k*（2^k-1）*Bern（k）/（2*k！*（J^（k+2-1）））。Bern（k）是一个Bernoulli数，J是4n+1形式的一个大数。参见Spanier和Oldham中的方程式3:3:7_Harry J.Smith，2009年5月7日
%D Miklos Bona，编辑，《枚举组合数学手册》，CRC出版社，2015年，第57、554页。
%D Steven R.Finch，《数学常数》，《数学及其应用百科全书》，第94卷，剑桥大学出版社，第53-59页。
%D N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
%D Jerome Spanier和Keith B.Oldham，《函数地图集》，1987年，方程式3:3:7。
%H Harry J.Smith，n表，n=0..20000的a（n）</a>
%H Milton Abramowitz和Irene A.Stegun，编辑，<A href=“http://www.convertit.com/Go/convertit/Reference/AMS55.ASP？Res=150&页码=807&；Submit=Go“>Catalan常数</a>，《数学函数手册》，1972年12月，第807页，第23.2.21节，n=2。
%H Victor Adamchik，<a href=“https://library.wolfram.com/infocenter/Demos/109/“>33表示加泰罗尼亚常数</a>。
%H David H.Bailey、Jonathan M.Borwein、Andrew Mattingly和Glenn Wightwick，<a href=“http://www.ams.org/notices/201307/rnoti-p844.pdf“>Pi^2和加泰罗尼亚常量之前不可访问数字的计算，AMS通告，60（2013年7月），844-854。
%H Peter Bala，<a href=“/A002117/A002117.pdf”>旧函数的新系列</a>。
%H David M.Bradley，<a href=“https://www.researchgate.net/publication/2325473_Representations_of_Catalan%27s_Constant网站“>2001年加泰罗尼亚常数的表示。
%H Sarth Chavan和Christophe Vignat，<a href=“https://arxiv.org/abs/2105.11771“>加泰罗尼亚常数的三重积分表示，arXiv:2105.11771[math.NT]，2021。
%H Greg Fee，<a href=“https://www.gutenberg.org/ebooks/682“>加泰罗尼亚常数为300000位数</a>，古腾堡项目，1996年。
%H G.J.Fee，<a href=“http://dx.doi.org/10.1145/96877.96917“>使用拉马努扬公式计算加泰罗尼亚常数，收录于国际符号与代数计算研讨会（ISSAC’90），1990年，第157-160页。
%H Philippe Flajolet和Ilan Vardi，<a href=“http://algo.inria.fr/flajolet/Publications/publist.html“>Zeta函数对一些经典常数的展开</a>。
%H Werner Hürlimann，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL18/Huerlimann/huerli6.html“>不同原始立方体数量的精确和渐近评估，整数序列杂志，第18卷（2015年），第15.2.5条。
%康熙·卡奇和帕夫洛斯·泽米亚斯，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL15/Tzermis/tzermis2.html“>涉及zeta（3）和Catalan常数的无穷乘积，《整数序列杂志》，第15卷（2012年），第12.9.4号。
%H F.M.S.利马，<a href=“http://arxiv.org/abs/1207.3139“>2012年7月13日，加泰罗尼亚常数的快速收敛拉马努詹型级数，arXiv:1207.3139v1[math.NT]。
%H A.Lupas，一些经典常数的公式<A href=“/A006752/A006752.pdf”>，《ROGER-2000年学报》，2000年。[本地副本]
%H David Naccache和Ofer Yifrach-Stav，<a href=“https://arxiv.org/abs/2210.15669“>关于加泰罗尼亚常量连分式，arXiv:2210.15669[cs.SC]，2022。
%H T.Papanikolaou和G.Fee，<a href=“http://www.gutenberg.org/etext/812“>加泰罗尼亚常数[Ramanujan公式]达到1500000个名额，古腾堡计划，1997年。
%H Kh.Hessami Pilehrood和Tatiana Hessami-Pilehroud，<a href=“https://doi.org/10.46298/dmtcs.504“>β值的系列加速度公式</a>，《离散数学理论或比较科学》12（2）（2010）223-236。
%H西蒙·普劳夫，<a href=“http://www.plouffe.fr/simon/gendev/915965.html“>实数的广义展开式</a>，2006。
%H Xiaohan Wang，<a href=“http://doi.org/10.2206/kyushujm.67.105“>巴恩斯G函数和加泰罗尼亚常数，《九州数学杂志》，第67卷（2013）第1期，第105-116页。
%H Eric Weistein的《数学世界》，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/CatalansConstant.html“>加泰罗尼亚常数。
%H Eric Weistein的《数学世界》，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/CatalansConstantDigits.html“>加泰罗尼亚语的恒定数字</a>。
%H Eric Weistein的《数学世界》，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/HurwitzZetaFunction.html“>Hurwitz Zeta函数。
%H Eric Weistein的《数学世界》，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/TrigammaFunction.html“>Trigamma函数</a>
%H维基百科，<a href=“http://en.wikipedia.org/wiki/Catalan%27s_constant（英语）“>加泰罗尼亚常数。
%H Sheldon Yang，<a href=“https://doi.org/10.1080/0020739X.1992.10715688“>加泰罗尼亚常数G的一些性质，国际数学教育科学技术杂志23（4）（1992）549-556
%F G=积分{x=0..1}反正切（x）/x dx。
%F G=积分{x=0..1}3*反正切（x*（1-x）/（2-x））/x dx.-James Mc Laughlin发布到数字理论列表，2007年9月27日
%F G=（zeta（2,1/4）-zeta（2.3/4））/16.-_Gerry Martens_，2011年5月27日[使用Hurwitz zeta函数zeta。]
%F G=（1/2）*Sum_{n>=0}（-1）^n*（（3*n+2）*8^n）/（（2*n+1）^3*C（2*n，n）^3）（摘自利马2012年的参考文献）。
%F G=（-1/64）*Sum_{n>=1}（-1）^n*（2^（8*n）*（40*n^2-24*n+3））/（n^3*（2*n-1）*C（2*n，n）*C（4*n，2*n）^2）（来自Lupas 2000参考）。
%F G=φ（-1，2，1/2）/4，其中φ是超越的勒奇_Jean-François Alcover，2013年3月28日
%F G=（1/2）*积分{x=0..Pi/2}对数（cot（x）+csc（x））dx.-_Jean-François Alcover，2013年4月11日[参见Adamchik链接]
%F G=-积分{x=0..1}（log x）/（1+x^2）dx=积分{x>=1}（对数x）/_克拉克·金伯利（Clark Kimberling），2016年11月4日
%F G=（Zeta（2，1/4）-Pi^2）/8=（Psi（1，1/4）-Pi^2）/8，带有Hurwitz Zeta函数和三角函数Psi（1,z）。关于名称中给出的级数的部分和，请参见A294970/A294971_Wolfdieter Lang，2017年11月15日
%F等于Im（Li_{2}（i））_Peter Luschny_，2019年10月4日
%F等于-积分_{x=0..Pi/4}对数（tan（x））dx.-_Amiram Eldar，2020年6月29日
%F等于（1/2）*Integral_{x=0..1}K（x）dx=-1/2+Integral_{x=0..1}E（x）dx，其中K（K）和E（K）分别是第一类和第二类完全椭圆积分，作为椭圆模K的函数。-Gleb-Koloskov_，2021年6月25日
%F From _Peter Bala，2021年12月8日：（开始）
%F G=1/2+4*Sum_{n>=1}（-1）^（n+1）*n/（4*n^2-1）^2=-13/18+（2^7）*3*Sum_{n>=1}（-1）^ 2-1）^2*（4*n^2-9）^2（4*n ^2-25）^2）。
%F G=3/2-16*Sum_{n>=1}（-1）^（n+1）*n/（4*n^2-1）^3=401/6-（2^13）*（3^3）*Sum_{n>=1}（-1）^n*n//（（4*n^2-1）^3*（4*n ^2-9）^3x（4*n ^2-25）^3）。（结束）
%F From _Amiram Eldar_，2024年1月7日：（开始）
%F等于beta（2），其中beta是Dirichlet beta函数。
%F等于乘积{p素数>=3}（1-（-1）^（（p-1）/2）/p^2）^。（结束）
%e 0.91596559417721901505460351493238411077414937428167213426649811962176301977。。。
%p evalf（加泰罗尼亚语）；#_R.J.Mathar，2013年4月9日
%t nmax=1000；First[RealDigits[加泰罗尼亚语，10，nmax]]（*_Stuart Clary_，2008年12月17日*）
%t集成[ArcTan[x]/x，{x，0，1}]（*_N.J.A.Sloane_，2013年5月3日*）
%t N[Im[PolyLog[2，I]]，100]（*_Peter Luschny_，2019年10月4日*）
%o（PARI）{数字=20000；默认值（实际精度，数字+80）；s=1.0；n=5*数字；j=4*n+1；si=-1.0；对于（i=3，j-2，s+=si/i^2；si=-si；i++；）；s+=0.5/j^2；ttk=4.0；d=4.0*j^3；xk=2.0；xkp=xk；对于（k=2，100000000，term=（ttk-1）*ttk*xkp；xk++；xkp*=xk，如果（k>2，术语*=xk；xk++；xkp*=xk；）；术语*=bernreal（k）/d；sn=s+术语；如果（sn==s，中断）；s=sn；ttk*=4.0；d*=（k+1）*（k+2）*j^2；k++；）；x=10*s；表示（n=0，数字，d=楼层（x）；x=（x-d）*10；写（“b006752.txt”，n，“”，d）；}/*贝塔系数（2）=1-1/3^2+1/5^2-…-1/（J-2）^2+1/（2*J^2）+2*Bern（0）/（2*J^3）-2*3*4*Bern（2）/J^5+，
%o（PARI）默认值（realprecision，1000+2）；/*1000个术语*/
%o s=总和（n=0，（-1）^n/（2*n+1）^2）；
%o v=Vec（结构）；/*==["0", ".", "9", "1", "5", "9", "6", ...*/
%o向量（v-2，n，eval（v[n+2]））
%o/*_Joerg Arndt_，2011年8月25日*/
%o（PARI）加泰罗尼亚语\\_Charles R Greathouse IV_，2011年11月20日
%o（PARI）（zetahurwitz（2,1/4）-Pi^2）/8\\_Charles R Greathouse IV_，2018年1月30日
%o（岩浆）R:=RealField（100）；加泰罗尼亚语（R）；//_G.C.Greubel，2018年8月21日
%Y参见A014538、A104338、A153069、A153070、A054543、A118323、A294970/A294971。
%K nonn，cons，easy，changed
%0、1
%A _N.J.A.斯隆_
%E更多来自Larry Reeves（larryr（AT）acm.org）的术语，2002年5月28日
| 