%I M0260#135 2024年2月24日00:49:20

%S 1,0,0,1,1,1,2,2,3,4,4,5,6,7,8,10,11,13,15,17,19,23,25,29,33,38，

%电话：42,49,54,62,69,78,87,99109123137154170191211236261290320，

%电话：3573924354795305826447677985494010291133123713581485

%N N的整数分区数，其最小部分等于部分数。

%C或，n的分区数，其中最大部分的数量等于最大部分。

%C a（n）是n-1的分区数，其中没有相差小于2的部分，并且没有小于3的部分。[麦克马洪]

%C在这个序列中，偏移量有两个相互冲突的选择。对于这里给出的定义，偏移量是1，这就是我们要采用的。另一方面，如果通过Rogers-Ramanujan恒等式（请参阅下一条注释）到达该序列，则自然偏移量为0。

%C与Rogers-Ramanujan恒等式有关：设G[1]（q）和G[2]（q）是A003114和A003106两个Rogers-Ramanujan恒等式的生成函数，从常数项1开始。当前序列的g.f.为g[3]（q）=（g[1]（q）-g[2]（q））/q=1+q^3+q^4+q^5+q^6+q^7+2*q^8+2*qq^9+3*q^10+….-_Joerg Arndt_，2012年10月8日_N.J.A.Sloane，2015年11月18日

%C有关广义Rogers-Ramanujan级数G[i]（x）的更多信息，请参阅Andrews-Baxter和Lepowsky-Zhu的论文。本系列为G[3]（x）_N.J.A.Sloane，2015年11月22日

%C From _Wolfdieter Lang，2016年10月31日：（开始）

%C来自Hardy（H），第94页，方程（6.12.1）和Hardy-Wright（H-W），第293页，方程（19.14.3）对于H_2（a，x）-H_1（a，x）=a*H_1（a*x，x），我们可以从H_1（a，x）的结果中找到（在第95页顶部的（H）中），在将a=x之后，a（n）=A003114（n）-A003106（n），n>=0，其中a（0）=0作为Sum_{m>=0｝x^（（m+1）^2）/Product _｛j＝1..m｝（1-x^j）。m=0项是1*x^1。参见_Joerg Arndt_给出的公式，2011年1月29日。

%C该公式有一个组合解释（与（H）第6.0节第91-92页或（H-W）第290-291页中给出的公式类似）：a（n）是n的分区数，其中部分差异至少为2，部分差异为1。参见下面的示例a（15）。（结束）

%这些整数分区的Heinz数由A324522给出_Gus Wiseman_，2019年3月9日

%D G.H.Hardy，Ramanujan，AMS切尔西出版社。，普罗维登斯，罗得岛州，2002年，第92-95页。

%D G.H.Hardy和E.M.Wright，《数字理论导论》，第五版，克拉伦登出版社，牛津，2003年，第292-294页。

%D P.A.MacMahon，《组合分析》，剑桥大学出版社，伦敦和纽约，1915年第1卷和1916年第2卷；见第2卷第45页第293节。

%D N.J.A.斯隆和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

%H Alois P.Heinz，n的表格，n=1..1000的a（n）</a>

%H George E.Andrews和R.J.Baxter，<a href=“http://www.computing-wisdom.com/jstor/rogers-ramanujan.pdf“>Rogers-Ramanujan恒等式的动机证明，Amer.Math.Monthly 96（1989），第5期，401-409。

%H Shashank Kanade，<a href=“http://www.math.rutgers.edu/~skanade/SK-Defense-Handout.pdf“>关于顶点算子代数表示理论和整数划分恒等式的一些结果，罗格斯大学数学系博士讲义，2015年4月。

%H Shashank Kanade，<a href=“http://dx.doi.org/doi:10.7282/T3TX3H7B“>关于顶点算子代数表示理论和整数分划恒等式的一些结果，罗格斯大学数学系博士论文，2015年4月。

%H James Lepowsky和Minxian Zhu，<a href=“http://arxiv.org/abs/1205.6570“>戈登身份的动机证明，arXiv:1205.6570[math.CO]，2012；《拉马努扬杂志》29.1-3（2012）：199-211。

%H西蒙·普劳夫，<a href=“https://arxiv.org/abs/0911.4975“>Approximations de séries génératrices et quelques consuggestures”，魁北克大学论文，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。

%H Simon Plouffe，1031生成函数，论文附录，蒙特利尔，1992年

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/Rogers-RamanujanIdentities.html“>Rogers-Ramanujan身份</a>

%F G.F.：总和{m>=1}（x^（m^2）-x^，m*（m+1））/产品{i=1..m}（1-x^i）。

%F G.F.：和{n>=1}x^（n^2）/产品{k=1..n-1}（1-x^k）_Joerg Arndt_，2011年1月29日

%F a（n）=A003114（n）-A003106（n）=A039900（n）-A039899（n），（偏移量1）_Vladeta Jovovic_，2004年7月17日

%F Plouffe在1992年的论文中推测这是g.F.=（1+z+z^4+2*z^5-z^3-z^8+3*z^10-z^7+z^9）/（1+z z^4-2*z^3-z ^8+z^10），但迈克尔·索莫斯在2008年1月22日指出这是错误的。

%F（F（-x^2，-x^3）-F（-x，-x*4））/F（-x）的x次幂展开式，其中F（，）是Ramanujan的一般θ函数_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2007年1月22日

%F a（n）~平方（1/sqrt（5）-2/5）*exp（2*Pi*sqrt）（n/15））/（2*3^（1/4）*n^（3/4））_瓦茨拉夫·科特索维奇，2016年11月1日

%e G.f.=x+x ^4+x ^5+x ^6+x ^7+x ^8+2*x ^9+2*x^10+3*x ^11+3*x^12+。。。

%e a（15）=5，因为最小部分等于部分数的15的分区为

%e 3+6+6，

%e 3+5+7，

%e 3+4+8，

%e 3+3+9，以及

%e 2+13。

%e-Joerg Arndt_，2012年10月8日

%e a（15）=5，因为具有至少2个不同部分且存在部分1的15的分区是：[14,1]从具有一个部分的11的分区[11]中获得，添加到4的特殊分区[3,1]和[11,3,1]的第一部分，[10,4,1]，[9,5,1]，[08,6,1]，将具有一个部件的所有15-9=6的分区[6]和具有两个部分的分区相加，[5,1]、[4,1]、[3]，连接到9的特殊分区[5,3,1]_Wolfdieter Lang_，2016年10月31日

%e a（15）=5，因为部分>=3的14的分区和差异至少为2的部分是[14]、[11,3]、[10,4]、[9,5]和[8,6]。请参阅[MacMahon]的第二条评论。这是根据安德鲁斯-巴克斯特（Andrews-Baxter）中给出的g.f.g[3]（q）得出的公式（5.1），其中i=3（使用总和指数m）和m*（m+2）=3+5+…+（2*m+1）.-_Wolfdieter Lang，2016年11月2日

%e来自Gus Wiseman_，2019年3月9日：（开始）

%e a（8）=1到a（15）=5整数分区：

%e（6.2）（7.2）（8.2）（8.2）（9.2）（10.2）（11.2）（12.2）（13.2）

%e（3,3,3）

%e（5,3,3）

%e（7,3,3）（8,3,3）（8,4,3）

%e（9,3,3）

%e（结束）

%p b:=proc（n，i）选项记忆`如果`（n<0，0，`如果`（n=0，1，

%p `if`（i<1，0，b（n，i-1）+`if`

%p结束：

%p a：=n->加（b（n-j^2，j-1），j=0.isqrt（n））：

%p序列（a（n），n=1..80）；#_Alois P.Heinz，2012年10月8日

%tb[n_，i_]：=b[n，i]=如果[n<0，0，如果[n==0，1，如果[i<1，0，b[n，i-1]+如果[i>n，0，b[n-i，i]]]；a[n_]：=总和[b[n-j^2，j-1]，{j，0，Sqrt[n]}]；表[a[n]，{n，1，80}]（*_Jean-François Alcover_，2014年3月17日，在_Alois P.Heinz_*之后）

%t表[Length[Select[Integer Partitions[n]，Min[#]==Length[#]&]]，{n，30}]（*_Gus Wiseman_，2019年3月9日*）

%o（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，polcoeff（总和（k=1，平方（n），x^k^2/prod（j=1，k-1，1-x^j，1+o（x^（n-k^2+1））），n））}/*迈克尔·索莫斯，2008年1月22日*/

%Y关于广义Rogers-Ramanujan级数G[1]、G[2]、G[3]、G[4]、G5]、G[6]、G%7、G[0]，见A003114、A003106、A006141、A264591、A26459、A2645、A26453、A26454、A26455。G[0]=G[1]+G[2]由A003113给出。

%Y参见A064174、A090858、A324516、A324512、A324520和A324522。

%Y A003106统计最小长度>的分区。

%Y A003114统计最小长度>=的分区。

%Y A026794按最小值计算分区数。

%Y A039899统计最小<长度的分区。

%Y A039900统计最小长度<=的分区。

%Y A239950统计分区的最小数量等于不同部分的数量。

%与平衡相关的Y序列：

%Y-A010054统计平衡严格分区。

%Y-A047993统计平衡分区。

%Y-A098124统计平衡成分。

%Y-A106529对平衡分区进行排名。

%Y-A340596计算了共同平衡因子分解。

%Y-A340598统计平衡集分区。

%Y-A340599计算了备用因子分解。

%Y-A340600统计未标记的平衡多集分区。

%Y-A340653计数平衡因子分解。

%Y参见A055396、A114638、A117409、A325134、A340601、A340.611、A340654和A340655。

%K nonn公司

%O 1,9型

%A _N.J.A.斯隆_

%E来自Kok Seng Chua（chuaks（AT）ihpc.nus.edu.sg）的更多条款，2000年6月20日

%E更好的描述来自Nomoto Nohiro，2002年2月6日

%E名称缩写为_Gus Wiseman_，2021年4月7日（平衡分区为A047993）。