%I#87 2024年8月1日23:16:05

%S 1,318126945717158968480168396138633011550277297020，

%电话：23442026019927572210170150808870145843550460012542545339560，

%电话：1081794535537059354340983761558107095519260010704037242462053506125124000941986545533760806535159703546582761297613937760

%N a（N）=（3^N/N！）*产品{k=0..N-1}（3*k+1）。

%C有理函数R（x，y）的对角线=（1-9*x*y）/（1-2*x-3*y+3*y^2+9*x^2*y）_Gheorghe Coserea，2016年7月1日

%H Gheorghe Coserea，<a href=“/A004987/b004987.txt”>n的表，a（n）表示n=0..200</a>

%H A.Bostan、S.Boukraa、J.-M.Maillard和J.-A.Weil，<A href=“http://arxiv.org/abs/11507.03227“>有理函数和选定微分伽罗瓦群的对角线</a>，arXiv预印本arXiv:1507.03227[math-ph]，2015。

%H A.Straub、V.H.Moll和T.Amdeberhan，<A href=“http://dx.doi.org/10.4064/aa140-1-2“>k-中心二项式系数的p-adic估值，Acta Arith.140（2009）31-41，eq（1.10）。

%F G.F.：（1-9*x）^（-1/3）。

%F a（n）=（3^n/n！）*A007559（n），n>=1，a（0）：=1。

%F a（n）~γ（1/3）^-1*n^（-2/3）*3^（2*n）*{1-1/9*n^-1+…}。

%F表示为（0，9）上正函数的n阶矩：a（n）=Integral_{x=0..9}（x^n*（1/（Pi*sqrt（3）*6*（x/9）^（2/3）*（1-x/9，^（1/3））），n>=0。该函数是（0，9）上Hausdorff矩问题的解，矩等于a（n）。因此，这种表述是独一无二的_卡罗尔·彭森，2003年1月30日

%带递归的F D-有限：n*a（n）+3*（2-3*n）*a（n-1）=0.-_R.J.Mathar，2013年6月7日

%2014年1月27日，Z.-Michael Somos_中所有n的F 0=a（n）*（81*a（n+1）-15*a（n+2））+a（n+1）*（-3*a（n+1）+a（n+2）

%F G.F.A（x）=：y满足0=y''*y-4*y'*y'.-_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2014年1月27日

%F a（n）=（-9）^n*二项式（-1/3，n）_Peter Luschny_，2014年3月23日

%F例如F.：是1F1型超几何函数，采用Maple符号hypergeom（[1/3]，[1]，9*x）_Karol A.Penson，2015年12月19日

%F总和{n>=0}1/a（n）=（sqrt（3）*Pi+3*（12+log（3））/32=1.3980385924595932…-Ilya Gutkovskiy_，2016年7月1日

%A216316的F二项式变换_彼得·巴拉，2023年7月2日

%F From _Peter Bala，2024年3月31日：（开始）

%F a（n）=（9^n）*和{k=0..2*n}（-1）^k*二项式（-1/3，k）*二项法（-1/3、2*n-k）。

%F（9^n）*a（n）=和{k=0..2*n}（-1）^k*a（k）*a。

%F和{k=0..n}a（k）*a（n-k）=A004988（n）。

%F和{k=0..2*n}a（k）*a（2*n-k）=18^n/（2*n）！*产品{k=1..n}（6*k-1）*（3*k-2）。（结束）

%电子表格：1+3*x+18*x^2+126*x^3+945*x^4+7371*x^5+58968*x^6+480168*x^7+。。。

%pa:=n->（3^n/n！）*mul（3*k+1，k=0..n-1）；序列（a（n），n=0..25）；#_G.C.Greubel，2019年8月22日

%t表[（-9）^n二项式[-1/3，n]，{n，0，25}]（*_Jean-François Alcover_，2016年9月28日，在_Peter Luschny_*之后）

%o（PARI）a（n）=产品（k=0，n-1，3*k+1）*3^n/n！\\_Michel Marcus_，2013年6月30日

%o（PARI）

%o我的（x='x，y='y）；

%o R=（1-9*x*y）/（1-2*x-3*y+3*y^2+9*x^2*y）；

%o诊断（n，expr，var）={

%o my（a=向量（n））；

%o表示（i=1，#var，expr=泰勒（expr，var[#var-i+1]，n））；

%o表示（k=1，n，a[k]=expr；

%o表示（i=1，#var，a[k]=polceoff（a[k]，k-1））；

%o返回（a）；

%o}；

%o diag（20，R，[x，y]）\\ Gheorghe Coserea，2016年7月1日

%o（岩浆）[1]cat[3^n*&*[3*k+1:k in[0..n-1]]/阶乘（n）:n in[1..25]]；//_G.C.Greubel，2019年8月22日

%o（Sage）[9^n*rising_factorial（1/3，n）/factrial（n）for n in（0..25）]#_G.C.Greubel_，2019年8月22日

%o（GAP）列表（[0..25]，n->3^n*乘积（[0..n-1]，k->3*k+1）/阶乘（n））；#_G.C.Greubel，2019年8月22日

%Y参见A004117、A007559、A047657、A004988、A054861、A034689、A053101、A072888、A216316。

%Y与有理函数对角线有关：A268545-A268555。

%K nonn，简单

%0、2

%乔·基恩（jgk（AT）jgk.org）

%E更多条款摘自_Ralf Stephan，2004年3月13日

%E更多条款摘自Benoit Cloitre，2004年6月5日