%I M3213#169 2023年10月22日00:44:20

%S 0,0,1,1,4,3,8,12,13,22,17,28,31,36,36,51,47,64,61,70,77,98,85103，

%电话：112125124151138167184197218198233248269258284，

%电话：3253283393584033741414420449454505492529520553578635586645672

%N mod k的余数之和，k=1，2，3。。。，n.（名词）。

%C行总和A051778、A048158。A051127.-的反对角线和_L.Edson Jeffery，2012年3月3日

%设u_m（n）=Sum_{k=1..n}（n^m mod k^m）为m整数。作为n-->+oo，u_m（n）~（n^（m+1））*（1-（1/（m+1））*Zeta（1+1/m））。证明：使用黎曼和，我们有u_m（n）~（n^（m+1））*int（（（1/x）[此处为非科学字符]）*（1-floor（x^m）/（x^m）），x=1.+oo），结果如下。-_Yalcin Aktar，2008年7月30日[x是积分的真实变量。非科学字符（在原始消息中难以辨认）可能是某种形式的乘法符号。我建议我们暂时保持原样。-N.J.A.Sloane，2014年12月7日]

%C也是A236112的交替行和_Omar E.Pol，2014年1月26日

%C如果n是素数，则a（n）=a（n-1）+n-2_Omar E.Pol_，2014年3月19日

%C如果n是2的幂大于1，则a（n）=a（n-1）_David Morales Marciel，2015年10月21日

%如果n是一个偶数完美数，那么a（n）=a（n-1）-1_Omar E.Pol_，2015年10月21日

%C A235796的部分金额_Omar E.Pol_，2016年6月26日

%C除了n=2^m的a（n）=a（n-1）外，在前6*10^8项中出现一次以上的唯一值是n=38184+-1、458010+-1、776112+-1、65675408+-1和113393280+-2_Trevor Cappallo，2021年6月7日

%C上述注释中的off-by-1术语是A068077的术语。证明：如果a（n-1）=a（n+1），则通过公式（n-1；重新排列项得出σ（n）+σ（n+1）=4n_Lewis Chen，2021年9月24日

%D N.J.A.斯隆和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

%H N.J.A.Sloane，N的表，N的A（N）=1..2000（T D.Noe的前1000项）

%H Jeffrey Shallit，<a href=“http://www.jstor.org/stable/2321999“>问题E2817，《美国数学月刊》，第87卷，第137页，1980年。

%F a（n）=n^2-和{k=1..n}σ（k）=A000290（n）-A024916（n），因此渐近a（n_Benoit Cloitre_，2002年4月28日。2015年2月22日，由_Charles R Greathouse IV_纠正/改进的渐近

%F a（n）=A008805（n-3）+A049798（n-1），对于n>2_Carl Najafi，2013年1月31日

%F a（n）=A000217（n-1）-A153485（n）.-_Omar E.Pol，2014年1月28日

%F G.F.：x^2/（1-x）^3-（1-x）^（-1）*Sum_｛k>=1｝k*x^（2*k）/（1-x^k）.-_罗伯特·伊斯雷尔（Robert Israel），2015年8月13日

%F a（n）=和{i=1..n}（n模i）.-_韦斯利·伊万·赫特，2017年9月15日

%e a（5）=4。5除以2,3,4的余数分别为1,2,1，其和=4。

%p A004125:=n->添加（modp（n，k），k=2..n）；/*更快、更明确；“a mod b”可以是mods（a，b）*/#_M.F.Hasler_，2007年11月22日

%t表[Sum[Mod[n，k]，{k，2，n-1}]，{n，70}]（*_Harvey P.Dale_，2011年11月23日*）

%t累加[表[2n-1-DivisorSigma[1，n]，{n，70}]]（*哈维·P·达尔，2014年7月11日*）

%o（PARI）A004125（n）=总和（k=2，n，n%k）\\ M.F.Hasler_，2007年11月22日

%o（哈斯克尔）

%o a004125 n=总和$map（mod n）[1..n]

%o--_Reinhard Zumkeller_2011年1月28日

%o（岩浆）[&+[n mod r:r in[1..n]]：n in[1..70]]；//_Bruno Berselli，2014年7月6日

%o（GAP）列表（[1..70]，n->n^2-总和（[1..n]，k->Sigma（k））；#_Muniru A Asiru_，2018年3月28日

%o（Python）

%o定义a（n）：返回和（n%k代表范围（1，n）中的k）

%o打印（[a（n）代表范围（1，63）中的n）]#_Michael S.Branicky_，2021年6月8日

%o（Python）

%o从数学导入isqrt

%o定义A004125（n）：返回n**2+（（s:=isqrt（n））**2*（s+1）-总和（（q:=n//k）*（k<<1）+q+1），对于范围（1，s+1）>>1）中的k

%Y参见A000290、A006218、A023196、A048158、A050482、A051778、A120444（第一个差异）。

%K nonn，简单，不错

%O 1.5

%A _N.J.A.Sloane，_Jeffrey Shallit_

%E编辑：M.F.Hasler，2015年4月18日