%I M1975#96 2024年5月3日01:16:45

%编号：1,2,10,747309002133210229975445375130100717956224840104410，

%电话：67389559063419944372341530639455369290922220792738443610，

%电话：816812844197444714322321321799301351401783010933015082

%N点上广义弱阶的个数。

%C一组基数n上的双部分关系数.-Ralf Stephan，2003年4月27日

%C来自_Peter Bala_，2022年7月8日：（开始）

%C猜想：设k为正整数。通过减少a（n）模k得到的序列最终是周期的，周期除以φ（k）=A000010（k）。例如，模7，我们得到了序列[1，2，3，4，4，0，2，4，2，0，3，3，4,4，2、0，0，0…]，其表观周期为6=phi（7），从a（2）开始。参见A000670。

%C更一般地，我们推测对于具有例如形式为g（exp（x）-1）的f的整数序列也具有相同的性质，其中g（x）是积分幂级数。（结束）

%D L Santocanale，F Wehrung，G Grätzer，F Wherung，《全自面体的推广》，收录于《格理论：专题与应用》。Birkhäuser，Cham，第287-397页；内政部https://doi.org/10.1007/978-3-319-44236-5_8

%D N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

%H T.D.Noe，n的表格，n=1..100的a（n）</a>

%H Paul Barry，<a href=“https://arxiv.org/abs/1702.04007“>Eulerian-Downing Polynomials as Moments，Using Riordan Arrays</a>，arXiv:1702.04007[math.CO]，2017年。

%H Paul Barry，<a href=“https://arxiv.org/abs/1803.06408“>序列转换管道上的三个纬度，arXiv:1803.06408[math.CO]，2018。

%H P.Blasiak、K.A.Penson和A.I.Solomon，<A href=“http://arXiv.org/abs/quant-ph/0303030“>Dobinski型关系和对数正态分布。arXiv:quant-ph/0303032003。

%H C.G.Bower，转换</a>

%H D.Foata和C.Kreattehaler，<a href=“http://www.mat.univie.ac.网址：/~kratt/artikel/graphmaj.html“>《图形主索引》，II</a>，Seminaire Lotharingien de Combinatoire，B34k，16页，1995年。

%H D.Foata和D.Zeilberger，<a href=“http://arXiv.org/abs/math.CO/9406220“>图形化主要指数</a>，arXiv:math/9406220[math.CO]，1994年。

%H Jacob Sprittulla，<a href=“https://arxiv.org/abs/2008.09984“>关于有色因子分解，arXiv:2008.09984[math.CO]，2020。

%H Carl G.Wagner，<a href=“http://dx.doi.org/10.1007/BF01899195“>广义弱阶的枚举，Arch.Math.（Basel）39（1982），no.2，147-152。

%H C.G.Wagner，广义弱阶的枚举，Preprint，1980年。[带注释的扫描副本]

%H C.G.Wagner和N.J.A.Sloane，通信，1980年</a>

%F例如，对于偏移量为0的序列：1/（3-2*exp（x））。

%F a（n）=2^n*a（n，3/2）；A（n，x）欧拉多项式_Peter Luschny_，2010年8月3日

%F.O.g.F.：求和{n>=0}2^n*n*x^（n+1）/产品{k=0..n}（1-k*x）.-_Paul D.Hanna，2011年7月20日

%F a（n）=和{k>=0}k^n*（2/3）^k/3。

%Fa（n）=Sum_{k=0..n}斯特林2（n，k）*（2^k）*k！。

%A000165的F斯特林变换。-_卡罗尔·彭森，2002年1月25日

%F“AIJ”（有序、模糊、标记）2、2、2……的变换。。。

%F递归：a（n）=2*Sum_{k=1..n}二项式（n，k）*a（n-k），a（0）=1.-_Vladeta Jovovic_，2003年3月27日

%F a（n）~（n-1）/（3*（对数（3/2））^n）_瓦茨拉夫·科特索维奇，2013年8月7日

%F a（n）=log（3/2）*Integral_{x>=0}楼层（x）^n*（2/2）^（-x）dx.-_Peter Bala_，2015年2月14日

%F例如：（x-log（3-2*exp（x）））/3.-_伊利亚·古特科夫斯基，2018年5月31日

%F作为Stieltjes型连分数的推测o.g.F.：1/（1-2*x/（1-3*x/_彼得·巴拉（Peter Bala），2022年7月8日

%t a[n_]：=（1/3）*PolyLog[-n+1，2/3]；a[1]=1；表[a[n]，{n，1，18}]（*Jean-François Alcover_，2012年6月11日*）

%t系数列表[系列[1/（3-2*Exp[x]），{x，0，20}]，x]*范围[0，20]！（*_Vaclav Kotesovec_，2013年8月7日*）

%o（PARI）{a（n）=polcoeff（总和（m=0，n，2^m*m！*x^（m+1）/prod（k=1，m，1-k*x+x*o（x^n））），n）}/*Paul D.Hanna，2011年7月20日*/

%o（PARI）我的（N=25，x='x+o（'x^N））；Vec（serlaplace（1/（3-2*exp（x）））\\_Joerg Arndt_，2024年1月15日

%o（鼠尾草）

%o A004123=λn：和（stirling_number2（n-1，k）*（2^k）*阶乘（k）for k in（0..n-1））

%o[A004123（n）代表（1..18）中的n]#_Peter Luschny_，2016年1月18日

%Y参见A004121、A004122、A000165、A000670、A032033。

%Y数组A094416的第二行（广义有序贝尔数）。

%当n>0时，Y等于2*A050351（n）。

%K nonn，很好，很容易

%O 1,2号机组

%A _N.J.A.斯隆_

%E克里斯蒂安·G·鲍尔的更多术语_